Wykazać tożsamość trygonometryczną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: 41421356 »

Rozbijając równanie \(\displaystyle{ z^5-1=0 \ , \ z\in\mathbb{C}}\) na czynnik liniowy oraz dwa czynniki kwadratowe uzasadnić prawdziwość poniższych zależności:

a.)

\(\displaystyle{ 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\right)=-1}\)

b.)

\(\displaystyle{ 4\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-1}\)

Znam pierwiastki w postaci trygonometrycznej oraz mam już rozbity ten wielomian na podane czynniki. Pytanie co dalej?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ z^5-1=0\\
(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0\\
(z-1)(z^2+ \frac{1- \sqrt{5} }{2}z+1 )(z^2+ \frac{1+ \sqrt{5} }{2}z+1 )=0\\
(z-1)\left[ (z-z_1)(z-z_2)\right]\left[ (z-z_3)(z-z_4)\right]=0}\)


\(\displaystyle{ z_1+z_2=\cos \frac{2 \pi }{5} +i \sin \frac{2 \pi }{5}+\cos \frac{-2 \pi }{5} +i \sin \frac{-2 \pi }{5}=\\=\cos \frac{2 \pi }{5} +i \sin \frac{2 \pi }{5}+\cos \frac{2 \pi }{5} -i \sin \frac{-2 \pi }{5}=2\cos \frac{2 \pi }{5} \\
\\
- \ \frac{1- \sqrt{5} }{2}=2\cos \frac{2 \pi }{5}}\)


\(\displaystyle{ z_3+z_4=\cos \frac{4 \pi }{5} +i \sin \frac{4 \pi }{5}+\cos \frac{-4 \pi }{5} +i \sin \frac{-4 \pi }{5}=\\=\cos \frac{4 \pi }{5} +i \sin \frac{4 \pi }{5}+\cos \frac{4 \pi }{5} -i \sin \frac{-4 \pi }{5}=2\cos \frac{4 \pi }{5} \\
\\
- \ \frac{1+ \sqrt{5} }{2}=2\cos \frac{4 \pi }{5}}\)


a)
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{2 \pi }{5}+2\cos \frac{4 \pi }{5}=(- \ \frac{1- \sqrt{5} }{2})+(- \ \frac{1+ \sqrt{5} }{2})=-1}\)
b)
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{2 \pi }{5} \ \cdot \ 2\cos \frac{4 \pi }{5}=(- \ \frac{1- \sqrt{5} }{2})(- \ \frac{1+ \sqrt{5} }{2})=-1}\)
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać tożsamość trygonometryczną

Post autor: 41421356 »

Dziękuję za pomoc, już wszystko jasne.
ODPOWIEDZ