Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ueueue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 12 lut 2017, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Post autor: ueueue »

Hej rozpocząłem własnie rozwiązywanie zadań z argumentem i postacią trygonometryczną. W jaki sposób ugryźć następujące zadanie? Od czego w ogóle zacząć?

\(\displaystyle{ A = \{z \in \pi \le \arg(i \cdot z) \le 2 \pi \}}\)
Ostatnio zmieniony 16 lut 2019, o 16:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Post autor: a4karo »

Wsk. Mnożenie przez \(\displaystyle{ i}\)odpowiada obrotowi o \(\displaystyle{ \pi/2}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Post autor: Jan Kraszewski »

ueueue pisze:\(\displaystyle{ A = \{z \in \pi \le \arg(i \cdot z) \le 2 \pi \}}\)
Nawiasem mówiąc, ten zapis zbioru wygląda fatalnie. Chciałeś pewnie napisać

\(\displaystyle{ A = \{z \in \CC: \pi \le \arg(i \cdot z) \le 2 \pi \}}\)

JK
ueueue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 12 lut 2017, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Post autor: ueueue »

Tak, o to mi chodziło. Czyli rozumiem, że zbiór odpowiada obszarowi drugiej i trzeciej ćwiartki, tak?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Post autor: a4karo »

Tak, tylko musisz dobrze opisać brzegi
ueueue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 12 lut 2017, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

Re: Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Post autor: ueueue »

A czy uprawnione jest poniższe przejście?

\(\displaystyle{ Arg (z - (1 - i) ) \le \frac{4}{3} \pi}\)

\(\displaystyle{ Arg (z) \le \frac{4}{3} \pi - \frac{3}{4} \pi}\)

Założyłem tak, ze względu na:

\(\displaystyle{ Arg (-1 + i) = \frac{3}{4} \pi}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiór

Post autor: Dasio11 »

Nie, bo najwyraźniej skorzystałeś z błędnego wzoru \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(u+v) = \mathrm{Arg} u + \mathrm{Arg} v}\).

Nierówność \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}( z - (1-i) ) \le \frac{4}{3} \pi}\) nadaje się do bezpośredniego narysowania. Dla dowolnego \(\displaystyle{ z \in \CC}\), liczbę \(\displaystyle{ z - (1-i)}\) rysujemy na płaszczyźnie jako wektor prowadzący od punktu \(\displaystyle{ 1-i}\) do punktu \(\displaystyle{ z}\). Nierówność spełniają więc te liczby, dla których ów wektor jest nachylony względem dodatniej półosi OX o kąt \(\displaystyle{ \le \frac{4}{3} \pi}\).
ODPOWIEDZ