Moduły i fazy pierwiastków

[mm3006]

Znajdź moduły i fazy liczb zespolonych będących pierwiastkami równania:
\(\displaystyle{ z^{2}= \pi^{ \sqrt{i} }}\)
Czy można obustronnie spotęgować wykładniki i zastosować podstawienie \(\displaystyle{ e^{\sqrt{i} \ln \pi}}\)?
Albo czy lepiej rozpatrzeć dwa przypadki dla \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\)?
I czy tych pierwiastków ma być 4?
Z góry dzięki za pomoc.

[Dasio11]

Jak zdefiniowany jest \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\)?

[mm3006]

To znaczy, chodzi o \(\displaystyle{ \sqrt{i}=a+bi}\)
\(\displaystyle{ i= a^{2} -b ^{2} +2abi \Rightarrow a^{2}=b^{2} \wedge 2abi=i}\)?

[Dasio11]

Chodzi o definicję \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) podaną na wykładzie.

Każda niezerowa liczba zespolona ma dwa różne pierwiastki kwadratowe, więc zapis \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) sam w sobie nie ma sensu. W zależności od kontekstu można mu nadawać sens, i ja Cię właśnie o ten kontekst pytam.

- Można w jakiś sposób określić, który pierwiastek wybieramy.
- Można traktować \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) jako zbiór (ale to wymaga przedefiniowania wszystkich działań, na przykład wtedy wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{i} + \sqrt{i+1}}\) też powinna być zbiorem).
- Można jeszcze inaczej...

[mm3006]

Wiem tyle, że \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) to zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ w ^{2} =i}\). Polecenie nic nie precyzuje.