Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 12 lut 2019, o 19:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
Witam wszystkich, czy ma ktoś pomysł jak można rozwiązać te równanie?
\(\displaystyle{ z^{6}=(3-i)^{12}}\)
\(\displaystyle{ z^{6}=(3-i)^{12}}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
Pierwszy pierwiastek z sześciu widać odrazu \(\displaystyle{ z_1=(3-i)^2}\) a każdy kolejny jest położony o \(\displaystyle{ \frac{360}{6}}\) stopni dalej. Znając fakt iż mnożenie liczb zespolonych powoduje sumowanie ich argumentów można zapisać że:
\(\displaystyle{ z_2=z_1\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=z_2\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_4=z_3\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_5=z_4\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_6=z_5\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_2=z_1\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=z_2\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_4=z_3\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_5=z_4\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_6=z_5\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 12 lut 2019, o 19:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
Dziękuje Ci bardzo, mam jeszcze jedno pytanie. Ten pierwiastek, który zauważamy od razu musimy go koniecznie zapisać jako \(\displaystyle{ z_{1}}\) czy możemy jako \(\displaystyle{ z_{2}}\) i potem z tego liczyć?
Ostatnio zmieniony 12 lut 2019, o 23:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
Nie ma znaczenia jak go nazwiesz to może być \(\displaystyle{ z_2}\) jak i \(\displaystyle{ z_5}\) i wszystko inne problem jest tylko terminologiczny (a właściwie to problemu nie ma bo to tylko znaczek któremu przypisujemy wartość). Ważniejsze jest by złapać jakiś pierwiastek (im łatwiej tym lepiej dlatego podałem \(\displaystyle{ (3-i)^2}\) ale każdy inny też daje radę) a potem obracać nim o kąt który wygeneruje pozostała pierwiastki (pozostałe pięć bo wszystkich jest sześć co wynika z podstawowego tw. algebry o wielomianach)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 12 lut 2019, o 19:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
Dzięki, żeby nie zakładać nowego tematu podrzucę jeszcze jeden przykład, który chciałem zrobić analogicznie do poprzedniego ale coś nie wychodzi.
\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^4= \left( z+1 \right) ^4}\)
Łatwo zauważyć, że jeden z pierwiastków to będzie \(\displaystyle{ z_1=- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ z^4}\) się skrócą najwyższą potęgą będzie \(\displaystyle{ z^3}\).
Dla \(\displaystyle{ z^3}\) mam 3 rozwiązania więc \(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi }{3}}\).
Więc \(\displaystyle{ z_2=z_1 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=z_2 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\).
W każdym razie nie wychodzi mi poprawne rozwiązanie z wyjątkiem tego \(\displaystyle{ z_1}\). Zrobiłem jakiś błąd w rozumowaniu?
\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^4= \left( z+1 \right) ^4}\)
Łatwo zauważyć, że jeden z pierwiastków to będzie \(\displaystyle{ z_1=- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ z^4}\) się skrócą najwyższą potęgą będzie \(\displaystyle{ z^3}\).
Dla \(\displaystyle{ z^3}\) mam 3 rozwiązania więc \(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi }{3}}\).
Więc \(\displaystyle{ z_2=z_1 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=z_2 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\).
W każdym razie nie wychodzi mi poprawne rozwiązanie z wyjątkiem tego \(\displaystyle{ z_1}\). Zrobiłem jakiś błąd w rozumowaniu?
Ostatnio zmieniony 13 lut 2019, o 21:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
Ta metoda działa tylko dla równań postaci \(\displaystyle{ z^n = w}\) z parametrem \(\displaystyle{ w \in \CC}\), a Twoje równanie trzeciego stopnia takie nie jest.KapiX pisze:Więc \(\displaystyle{ z_2=z_1 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=z_2 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\).
W każdym razie nie wychodzi mi poprawne rozwiązanie z wyjątkiem tego \(\displaystyle{ z_1}\). Zrobiłem jakiś błąd w rozumowaniu?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań
W tym przypadku bardziej pomocne będzie dwukrotne zastosowanie wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\). Dasio11 ma racje, że tej metody nie da się tu zastosować w ten sposób wprost tak jak to zrobiłeś ale można równanie przekształci tak by się to już udało. Po uprzednim zauważaniu, że \(\displaystyle{ z=-1}\) rozwiązaniem nie jest można zapisać równoważnie:\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^4= \left( z+1 \right) ^4}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{z-i}{z+1} \right)^4=1}\)
Jeśli teraz znajdziesz cztery pierwiastki czwartego stopnia jedynki to można je przyrównać do \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+1}}\) (jeden wersja równania nie będzie miała rozwiązania więc zostaną trzy odpowiedzi ).