Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
KapiX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 lut 2019, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: KapiX »

Witam wszystkich, czy ma ktoś pomysł jak można rozwiązać te równanie?

\(\displaystyle{ z^{6}=(3-i)^{12}}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: Janusz Tracz »

Pierwszy pierwiastek z sześciu widać odrazu \(\displaystyle{ z_1=(3-i)^2}\) a każdy kolejny jest położony o \(\displaystyle{ \frac{360}{6}}\) stopni dalej. Znając fakt iż mnożenie liczb zespolonych powoduje sumowanie ich argumentów można zapisać że:

\(\displaystyle{ z_2=z_1\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ z_3=z_2\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ z_4=z_3\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ z_5=z_4\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ z_6=z_5\left( \cos\left( \frac{ \pi }{3} \right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right)}\)
KapiX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 lut 2019, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: KapiX »

Dziękuje Ci bardzo, mam jeszcze jedno pytanie. Ten pierwiastek, który zauważamy od razu musimy go koniecznie zapisać jako \(\displaystyle{ z_{1}}\) czy możemy jako \(\displaystyle{ z_{2}}\) i potem z tego liczyć?
Ostatnio zmieniony 12 lut 2019, o 23:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: Janusz Tracz »

Nie ma znaczenia jak go nazwiesz to może być \(\displaystyle{ z_2}\) jak i \(\displaystyle{ z_5}\) i wszystko inne problem jest tylko terminologiczny (a właściwie to problemu nie ma bo to tylko znaczek któremu przypisujemy wartość). Ważniejsze jest by złapać jakiś pierwiastek (im łatwiej tym lepiej dlatego podałem \(\displaystyle{ (3-i)^2}\) ale każdy inny też daje radę) a potem obracać nim o kąt który wygeneruje pozostała pierwiastki (pozostałe pięć bo wszystkich jest sześć co wynika z podstawowego tw. algebry o wielomianach)
KapiX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 lut 2019, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: KapiX »

Dzięki, żeby nie zakładać nowego tematu podrzucę jeszcze jeden przykład, który chciałem zrobić analogicznie do poprzedniego ale coś nie wychodzi.

\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^4= \left( z+1 \right) ^4}\)

Łatwo zauważyć, że jeden z pierwiastków to będzie \(\displaystyle{ z_1=- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ z^4}\) się skrócą najwyższą potęgą będzie \(\displaystyle{ z^3}\).

Dla \(\displaystyle{ z^3}\) mam 3 rozwiązania więc \(\displaystyle{ \alpha = \frac{2 \pi }{3}}\).

Więc \(\displaystyle{ z_2=z_1 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=z_2 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\).

W każdym razie nie wychodzi mi poprawne rozwiązanie z wyjątkiem tego \(\displaystyle{ z_1}\). Zrobiłem jakiś błąd w rozumowaniu?
Ostatnio zmieniony 13 lut 2019, o 21:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: Dasio11 »

KapiX pisze:Więc \(\displaystyle{ z_2=z_1 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_3=z_2 \left( \cos \frac{2 \pi }{3}+i\sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\).

W każdym razie nie wychodzi mi poprawne rozwiązanie z wyjątkiem tego \(\displaystyle{ z_1}\). Zrobiłem jakiś błąd w rozumowaniu?
Ta metoda działa tylko dla równań postaci \(\displaystyle{ z^n = w}\) z parametrem \(\displaystyle{ w \in \CC}\), a Twoje równanie trzeciego stopnia takie nie jest.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: Janusz Tracz »

\(\displaystyle{ \left( z-i \right) ^4= \left( z+1 \right) ^4}\)
W tym przypadku bardziej pomocne będzie dwukrotne zastosowanie wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\). Dasio11 ma racje, że tej metody nie da się tu zastosować w ten sposób wprost tak jak to zrobiłeś ale można równanie przekształci tak by się to już udało. Po uprzednim zauważaniu, że \(\displaystyle{ z=-1}\) rozwiązaniem nie jest można zapisać równoważnie:

\(\displaystyle{ \left( \frac{z-i}{z+1} \right)^4=1}\)

Jeśli teraz znajdziesz cztery pierwiastki czwartego stopnia jedynki to można je przyrównać do \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+1}}\) (jeden wersja równania nie będzie miała rozwiązania więc zostaną trzy odpowiedzi ).
KapiX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 lut 2019, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Re: Rozwiąż równanie i naszkicuj zbiór rozwiązań

Post autor: KapiX »

No tak macie racje, dziękuje za pomoc
ODPOWIEDZ