Znajdź sume liczb spełniających równanie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 171
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy

Znajdź sume liczb spełniających równanie

Post autor: strefa61 » 10 lut 2019, o 18:12

Cześć, mam następujące zadanie:
\(\displaystyle{ n>1}\) , \(\displaystyle{ n\in \mathbbb \NN}\)
znaleźć wszystkie liczby zespolone, które spełniają: \(\displaystyle{ z^n=-1}\) i wyliczyć ich sumę.
Liczby spełniające równanie, to takie, których argument spełnia::
\(\displaystyle{ arg(z)=\frac{\pi + 2k\pi}{n}}\) , \(\displaystyle{ 0 \le k < n}\) , \(\displaystyle{ k \in \mathbbb\ZZ}\)

Dla parzystych n-ów mamy one się skrócą: (pytam, czy różnica dwóch argumentów, będzie równa pi, wtedy są to liczby przeciwne i nic nie wniosą do sumy)
Niech: \(\displaystyle{ k,t < \frac{n}{2}}\), nieujemne i całkowite, wtedy:
\(\displaystyle{ \pi \frac{1+2(n-k)}{n} - \pi \frac{1+2(n-t)}{n} =\pi \frac{2(k-t)}{n}}\)
\(\displaystyle{ \pi \frac{2(k-t)}{n}=\pi \Leftrightarrow k-t=\frac{n}{2} \Leftrightarrow k=\frac{n}{2}+t}\)
n jest parzyste, więc całkowite, nieujemne i mniejsze od n, k oraz t istnieją.

Natomiast dla n nieparzystych nie widzę, żeby się 'skracały':
weźmy dowolny pierwiastek nieparzystego stopnia z -1, jego argument:
\(\displaystyle{ \frac{\pi+2k\pi}{n}}\)
Pytam, czy istnieje inna liczba naturalna \(\displaystyle{ m}\), która będzie spełniać:
\(\displaystyle{ m(\frac{\pi+2k\pi}{n} + \pi)=\pi + 2t\pi}\)
oczywiście t jest całkowite.
Czyli szukam potęgi, która dla liczby o tym argumencie (oczywiście moduł równy 1 pomijam) da argument -1, czyli \(\displaystyle{ \pi + 2t\pi}\)

Skracając pi itd. otrzymujemy:
\(\displaystyle{ m=\frac{n+2nt}{1+2k+n}}\)
Zauważmy, że licznik (bo na jest nieparzyste) jest nieparzysty, a mianownik jest parzysty. Wszystko jest większe od 0. Zatem taka liczba naturalna nie istnieje.
Jak policzyć taką sumę?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18285
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Znajdź sume liczb spełniających równanie

Post autor: a4karo » 10 lut 2019, o 18:26

1 wzory Viete'a
2 zauważ, że te liczby są też rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^{2n}=1}\)

strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 171
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy

Re: Znajdź sume liczb spełniających równanie

Post autor: strefa61 » 10 lut 2019, o 20:13

Próbuję na różne sposoby, ale nie mam pomysłu jak wykorzystać wzory Viete'a dla równania kwadratowego. Mogę prosić i jeszcze jakąś podpowiedź?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18285
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Znajdź sume liczb spełniających równanie

Post autor: a4karo » 10 lut 2019, o 20:33

Nie dla równania kwadratowego, tylko dla wielomianu \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia. Poszukaj w Wiki

strefa61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 171
Rejestracja: 12 gru 2013, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 71 razy

Re: Znajdź sume liczb spełniających równanie

Post autor: strefa61 » 10 lut 2019, o 20:35

Aaa, faktycznie. Super, dzięki.

ODPOWIEDZ