Witam tak jak w temacie, polecenie brzmi "Znajdź i narysuj wszystkie rozwiązania liczby zespolonej \(\displaystyle{ Z^{8} =81}\) ", przy czym to drugie polecenie mnie akurat nie interesuję bo wiem jak się tym zająć.
Rozumiem że należy przejść na postać trygonometryczną tylko że nie jestem pewny co do moich rozwiązań.
Prosił bym was bardzo forumowicze o jak najszybszą odpowiedź, ponieważ jest to sprawa "życia i śmierci".
Pozdrawiam serdecznie
Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 8 lut 2019, o 22:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej
Jeśli \(\displaystyle{ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\) jest postacią trygonometryczną \(\displaystyle{ z}\), to
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
z^8 = 81 & \iff r^8 ( \cos 8 \varphi + i \sin 8 \varphi ) = 81 \\
& \iff r^8 = 81 \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, 8 \varphi = 2 k \pi \\
& \iff r = \sqrt[8]{81} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{2 k \pi}{8} \\
& \iff r = \sqrt{3} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{k \pi}{4}
\end{align*} $}\)
czyli rozwiązaniami są
\(\displaystyle{ z_k = \sqrt{3} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).
Ale \(\displaystyle{ z_k = z_{l}}\) wtedy (i tylko wtedy) gdy \(\displaystyle{ k \equiv l \pmod{8}}\), więc wszystkie rozwiązania bez powtórzeń to \(\displaystyle{ z_k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le k < 8}\).
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
z^8 = 81 & \iff r^8 ( \cos 8 \varphi + i \sin 8 \varphi ) = 81 \\
& \iff r^8 = 81 \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, 8 \varphi = 2 k \pi \\
& \iff r = \sqrt[8]{81} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{2 k \pi}{8} \\
& \iff r = \sqrt{3} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{k \pi}{4}
\end{align*} $}\)
czyli rozwiązaniami są
\(\displaystyle{ z_k = \sqrt{3} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).
Ale \(\displaystyle{ z_k = z_{l}}\) wtedy (i tylko wtedy) gdy \(\displaystyle{ k \equiv l \pmod{8}}\), więc wszystkie rozwiązania bez powtórzeń to \(\displaystyle{ z_k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le k < 8}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 8 lut 2019, o 22:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej
@Dasio11
Mam do ciebie pytanko. Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd się wzięło \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), ponieważ w moim wykonaniu wyszły mi zupełnie inny wynik.
Mam do ciebie pytanko. Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd się wzięło \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), ponieważ w moim wykonaniu wyszły mi zupełnie inny wynik.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \sqrt{3}^8 = \left( (\sqrt{3})^2 \right)^4 = 3^4 = 81}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[8]{81} = \sqrt{3}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 8 lut 2019, o 22:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej
Ahh no tak rzeczywiście.
Dziękuję bardzo za odpowiedź i pozdrawiam serdecznie.
Dziękuję bardzo za odpowiedź i pozdrawiam serdecznie.