Matematyka.pl

Witam tak jak w temacie, polecenie brzmi "Znajdź i narysuj wszystkie rozwiązania liczby zespolonej \(\displaystyle{ Z^{8} =81}\) ", przy czym to drugie polecenie mnie akurat nie interesuję bo wiem jak się tym zająć.
Rozumiem że należy przejść na postać trygonometryczną tylko że nie jestem pewny co do moich rozwiązań.
Prosił bym was bardzo forumowicze o jak najszybszą odpowiedź, ponieważ jest to sprawa "życia i śmierci".
Pozdrawiam serdecznie

Jeśli \(\displaystyle{ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\) jest postacią trygonometryczną \(\displaystyle{ z}\), to

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
z^8 = 81 & \iff r^8 ( \cos 8 \varphi + i \sin 8 \varphi ) = 81 \\
& \iff r^8 = 81 \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, 8 \varphi = 2 k \pi \\
& \iff r = \sqrt[8]{81} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{2 k \pi}{8} \\
& \iff r = \sqrt{3} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{k \pi}{4}
\end{align*} $}\)

czyli rozwiązaniami są

\(\displaystyle{ z_k = \sqrt{3} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).

Ale \(\displaystyle{ z_k = z_{l}}\) wtedy (i tylko wtedy) gdy \(\displaystyle{ k \equiv l \pmod{8}}\), więc wszystkie rozwiązania bez powtórzeń to \(\displaystyle{ z_k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le k < 8}\).

@Dasio11
Mam do ciebie pytanko. Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd się wzięło \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), ponieważ w moim wykonaniu wyszły mi zupełnie inny wynik.

\(\displaystyle{ \sqrt{3}^8 = \left( (\sqrt{3})^2 \right)^4 = 3^4 = 81}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[8]{81} = \sqrt{3}}\).

Ahh no tak rzeczywiście.
Dziękuję bardzo za odpowiedź i pozdrawiam serdecznie.