Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
slaszek3x3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 8 lut 2019, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieluń

Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej

Post autor: slaszek3x3 » 8 lut 2019, o 22:31

Witam tak jak w temacie, polecenie brzmi "Znajdź i narysuj wszystkie rozwiązania liczby zespolonej \(\displaystyle{ Z^{8} =81}\) ", przy czym to drugie polecenie mnie akurat nie interesuję bo wiem jak się tym zająć.
Rozumiem że należy przejść na postać trygonometryczną tylko że nie jestem pewny co do moich rozwiązań.
Prosił bym was bardzo forumowicze o jak najszybszą odpowiedź, ponieważ jest to sprawa "życia i śmierci".
Pozdrawiam serdecznie
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9095
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1964 razy

Re: Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 » 9 lut 2019, o 00:01

Jeśli \(\displaystyle{ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)}\) jest postacią trygonometryczną \(\displaystyle{ z}\), to

\(\displaystyle{ $ \begin{align*} z^8 = 81 & \iff r^8 ( \cos 8 \varphi + i \sin 8 \varphi ) = 81 \\ & \iff r^8 = 81 \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, 8 \varphi = 2 k \pi \\ & \iff r = \sqrt[8]{81} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{2 k \pi}{8} \\ & \iff r = \sqrt{3} \ \& \ (\exists k \in \ZZ) \, \varphi = \frac{k \pi}{4} \end{align*} $}\)

czyli rozwiązaniami są

\(\displaystyle{ z_k = \sqrt{3} \left( \cos \frac{k \pi}{4} + i \sin \frac{k \pi}{4} \right)}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).

Ale \(\displaystyle{ z_k = z_{l}}\) wtedy (i tylko wtedy) gdy \(\displaystyle{ k \equiv l \pmod{8}}\), więc wszystkie rozwiązania bez powtórzeń to \(\displaystyle{ z_k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le k < 8}\).

slaszek3x3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 8 lut 2019, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieluń

Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej

Post autor: slaszek3x3 » 9 lut 2019, o 12:20

@Dasio11
Mam do ciebie pytanko. Mógłbyś mi wytłumaczyć skąd się wzięło \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), ponieważ w moim wykonaniu wyszły mi zupełnie inny wynik.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9095
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1964 razy

Re: Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej

Post autor: Dasio11 » 9 lut 2019, o 15:26

\(\displaystyle{ \sqrt{3}^8 = \left( (\sqrt{3})^2 \right)^4 = 3^4 = 81}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[8]{81} = \sqrt{3}}\).

slaszek3x3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 8 lut 2019, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieluń

Znajdź wszystkie rozwiązania liczby zespolonej

Post autor: slaszek3x3 » 9 lut 2019, o 15:42

Ahh no tak rzeczywiście.
Dziękuję bardzo za odpowiedź i pozdrawiam serdecznie.

ODPOWIEDZ