sposób rysowania na układzie współrzędnych( typu cos2a > 0 )

[kolo323]

jak narysować układzie współrzędnych rozwiązanie zadania 213707.htm czyli \(\displaystyle{ sin 3alpha >0}\) i inne tego typu ?

[Janusz Tracz]

Dla przykładu zbiór \(\displaystyle{ \Im \left( z^3\right) <0}\) a dokładniej zbiór \(\displaystyle{ \left\{ z\in\CC : \Im \left( z^3\right) <0 \right\}}\) można narysować w układzie współrzędnych na kilka sposobów. Mimo że sposoby te są równoważne i dają ten sam efekt to niektóre dają ten rozwiązanie szybciej i przy mniejszej ilości rachunków. Zapisując \(\displaystyle{ z}\) w postaci trygonometrycznej czyli \(\displaystyle{ z=\left| z\right|\left( cos \phi+i\sin\phi\right)}\) oraz korzystając ze wzoru de Moivre'a dostajemy

\(\displaystyle{ \left\{ z\in\CC : \Im \left( z^3\right) <0 \right\}=\left\{ z\in\CC : \Im \left(\left| z\right|^3\left( cos 3\phi+i\sin3\phi\right) \right) <0 \right\}=\left\{ z\in\CC : \left| z\right|^3\sin3\phi <0 \right\}}\)

Do tego zbioru nie należy \(\displaystyle{ z=0}\) więc je pomińmy i uprośćmy dalej dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ |z|^3}\) dostając ostateczną postać z której już łatwo będzie rysować

\(\displaystyle{ \left\{ z\in\CC : \Im \left( z^3\right) <0 \right\}=\left\{ z\in\CC \setminus \left\{ 0\right\} : \sin3\phi <0 \right\}}\)

Zbiór ten przedstawia elementy płaszczyzny zespolonej dla których siunus potrojonego kąta jest ujemny. Można rozwiązać tą nierówność dostając jawnie, że \(\displaystyle{ \sin 3\phi<0}\) dla \(\displaystyle{ \phi\in\left[ 0,2\pi\right)}\) jest spełnione dla

\(\displaystyle{ \phi \in\left( \frac{ \pi }{3}, \frac{ 2\pi }{3} \right) \cup \left( \pi ,\frac{ 4\pi }{3} \right) \cup \left(\frac{5 \pi }{3},2\pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1]
%uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300

%Shape: Axis 2D [id:dp4072082900580374]
\draw (50,148.56) -- (450,148.56)(246.9,0) -- (246.9,290) (443,143.56) -- (450,148.56) -- (443,153.56) (241.9,7) -- (246.9,0) -- (251.9,7) ;
%Straight Lines [id:da6388489017029377]
\draw (330,30) -- (160,270) ;


%Straight Lines [id:da6232960328891131]
\draw [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ,draw opacity=1 ] (170,30) -- (320,260) ;


%Curve Lines [id:da680358207547278]
\draw (280,150) .. controls (289.5,139.98) and (284.35,128.52) .. (271.63,120.93) ;
\draw [shift={(270,120)}, rotate = 388.53999999999996] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da9464682829657602]
\draw (300,150) .. controls (312.77,115.9) and (258.01,71.46) .. (221.11,108.84) ;
\draw [shift={(220,110)}, rotate = 313.09000000000003] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Shape: Circle [id:dp358158448715975]
\draw [fill={rgb, 255:red, 221; green, 33; blue, 33 } ,fill opacity=1 ] (242.79,148.56) .. controls (242.79,146.29) and (244.63,144.45) .. (246.9,144.45) .. controls (249.17,144.45) and (251.01,146.29) .. (251.01,148.56) .. controls (251.01,150.83) and (249.17,152.67) .. (246.9,152.67) .. controls (244.63,152.67) and (242.79,150.83) .. (242.79,148.56) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da4751322939318048]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (180,40) -- (320,40) ;


%Straight Lines [id:da39152671246610704]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (190,60) -- (310,60) ;


%Straight Lines [id:da07592159141300225]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (200,80) -- (300,80) ;


%Straight Lines [id:da9798721109489357]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (210,90) -- (290,90) ;


%Straight Lines [id:da03460362471768841]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (183.9,50.56) -- (313.9,49.56) ;


%Straight Lines [id:da990188666890115]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (200,70) -- (300,70) ;


%Straight Lines [id:da9061695290421141]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (230,120) -- (270,120) ;


%Straight Lines [id:da9103483700958266]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (220,110) -- (270,110) ;


%Straight Lines [id:da20939832552002358]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (240,130) -- (260,130) ;


%Straight Lines [id:da2790670212379598]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (110,150) -- (180,240) ;


%Straight Lines [id:da29451332742070235]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (130,150) -- (190,230) ;


%Straight Lines [id:da7393999851430624]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (150,150) -- (200,210) ;


%Straight Lines [id:da3097672530646578]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (170,150) -- (210,200) ;


%Straight Lines [id:da5893725527881217]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (190,150) -- (220,180) ;


%Straight Lines [id:da36440292912286165]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (210,150) -- (230,170) ;


%Straight Lines [id:da25528474684874913]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (260,170) -- (280,150) ;


%Straight Lines [id:da15500773351532415]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (270,180) -- (300,150) ;


%Straight Lines [id:da5333470368042368]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (275.9,193.56) -- (320,150) ;


%Straight Lines [id:da019153932441536403]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (285.9,205.56) -- (340,150) ;


%Straight Lines [id:da20804744462403146]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (290.9,216.56) -- (356.9,148.56) ;


%Straight Lines [id:da17698190672896152]
\draw [dash pattern={on 0.84pt off 2.51pt}] (300.9,228.56) -- (374.9,148.56) ;


\end{tikzpicture}}\)

Przy czym warto pamiętać, że linie graniczne nie należą do zbioru na nich \(\displaystyle{ \sin 3\phi}\) się zeruje. Do zbioru nie należy też środek układu. Proste te wyznaczają kąty więc łatwo wyznaczyć też ich równania korzystając z faktu iż tangens kąta nachylenia prostej to współczynnik kierunkowy prostej.

-- 3 lut 2019, o 13:33 --

Ta metoda uogólnia się w naturalny sposób dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\) na \(\displaystyle{ \Im\left( z^n\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \Re\left( z^n\right)}\) więc kolejny przykład nie powinien być problemem.