Znajdź liczby zespolone takie, że

[felek321]

Znaleźć liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ \left( z+1 \right) ^2= 1 + i.}\).

Podpowiedź: \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{8} \right) =\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{2}}\)

Nikt nie potrafi poradzić sobie z tym zadaniem, proszę o pomoc

[Janusz Tracz]

Można zacząć od policzenia \(\displaystyle{ \sqrt{1+i}}\) (tu przyda się wskazówka). Dostaniesz dwa wyniki tego pierwiastkowania są one równe \(\displaystyle{ z+1}\) a stąd już łatwo będzie powiedzieć ile wynosi \(\displaystyle{ z}\)

[a4karo]

Nikt nie potrafi poradzić sobie z tym zadaniem, proszę o pomoc

Jak nikt nie potrafi, to szukasz pomocy na próżno.


Umiesz rozwiążać równanie kwadratowe \(\displaystyle{ w^2=a}\)?

Wsk 2. Przedstaw \(\displaystyle{ (1+i}\) w postaci trygonometrycznej.

[felek321]

Nikt nie potrafi poradzić sobie z tym zadaniem, proszę o pomoc

Jak nikt nie potrafi, to szukasz pomocy na próżno.


Umiesz rozwiążać równanie kwadratowe \(\displaystyle{ w^2=a}\)?

Wsk 2. Przedstaw \(\displaystyle{ (1+i}\) w postaci trygonometrycznej.

\(\displaystyle{ 1+i}\) wyszło mi w postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ z= \sqrt{2}\left(\cos \frac{ \pi }{4}+i\sin \frac{ \pi }{4} \right)}\)

-- 3 lut 2019, o 12:33 --

Można zacząć od policzenia \(\displaystyle{ \sqrt{1+i}}\) (tu przyda się wskazówka). Dostaniesz dwa wyniki tego pierwiastkowania są one równe \(\displaystyle{ z+1}\) a stąd już łatwo będzie powiedzieć ile wynosi \(\displaystyle{ z}\)

zrobiłem sposobem kolegi, ale co dalej?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 1+i}\) wyszło mi w postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ z= \sqrt{2}\left(\cos \frac{ \pi }{4}+isin \frac{ \pi }{4} \right)}\)

Dobrze tylko to nie jest \(\displaystyle{ z}\) tylko jakaś inna zmienna, \(\displaystyle{ z}\) to Ty masz dopiero policzyć. Skoro masz postać trygonometryczną to łatwo jest policzyć te pierwiastki.

zrobiłem sposobem kolegi, ale co dalej?

I co Ci wyszło?

\(\displaystyle{ \sqrt{1+i}= \sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)}\)

oraz drugi

\(\displaystyle{ \sqrt{1+i}= -\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)}\)

I to jest \(\displaystyle{ z+1}\) zatem

\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)-1}\)

lub

\(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)-1}\)

Wskazówka służy tylko uproszczeniu tego do postaci bez funkcji trygonometrycznych.

[felek321]

oraz drugi

\(\displaystyle{ \sqrt{1+i}= -\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)}\)

I to jest \(\displaystyle{ z+1}\) zatem

\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)-1}\)

lub

\(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)-1}\)

Wskazówka służy tylko uproszczeniu tego do postaci bez funkcji trygonometrycznych.

Ok chyba rozumiem z 1 pierwiastka wyszła mi liczba \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}-4 }{2} + \frac{\left( \sqrt{2}-2 \right)i }{2}}\) ??? Czy to dobry wynik?


Tylko nie wiem czemu w drugim pierwiastku jest \(\displaystyle{ -}\)?-- 3 lut 2019, o 14:06 --

oraz drugi

\(\displaystyle{ \sqrt{1+i}= -\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)}\)

I to jest \(\displaystyle{ z+1}\) zatem

\(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)-1}\)

lub

\(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)-1}\)

Wskazówka służy tylko uproszczeniu tego do postaci bez funkcji trygonometrycznych.

Ok chyba rozumiem z 1 pierwiastka wyszła mi liczba \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}-4 }{2} + \frac{\left( \sqrt{2}-2 \right)i }{2}}\) ??? Czy to dobry wynik?


Tylko nie wiem czemu w drugim pierwiastku jest \(\displaystyle{ -}\)?

bardzo prosze o sprawzenie

[Janusz Tracz]

Ok chyba rozumiem z 1 pierwiastka wyszła mi liczba \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}-4 }{2} + \frac{\left( \sqrt{2}-2 \right)i }{2}}\) ??? Czy to dobry wynik?

Pisz staranniej bo nie wiadomo o jakie liczby Ci chodzi i do czego się odnosisz. Pierwszym pierwiastkiem kwadratowym liczby \(\displaystyle{ 1+i}\) jest:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)}\)

i jest on równy

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)=\sqrt[4]{2}\left(\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}+i\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{2} \right)}\)

po zastosowaniu wskazówki oraz jedynki trigonometry pozwalającej wyrazić \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8}= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2}}\) (należy też pamiętać że cos jest dodatni dla tego kąta).

Tylko nie wiem czemu w drugim pierwiastku jest \(\displaystyle{ -}\)?

Bo równanie \(\displaystyle{ w^2=a}\) ma dwa rozwiązania jedno z plusem a drugie z minusem \(\displaystyle{ w= \pm \sqrt{a}}\) zatem liczba \(\displaystyle{ 1+i}\) ma jeszcze jeden pierwiastek ze znakiem minus przed sobą

\(\displaystyle{ -\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{ \pi }{8}+i\sin \frac{ \pi }{8} \right)=-\sqrt[4]{2}\left(\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}+i\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{2} \right)}\)

Teraz skoro \(\displaystyle{ \left( z+1 \right) ^2= 1 + i}\) to \(\displaystyle{ z+1= \sqrt{1+i}}\) a wiemy ile te pierwiastki już wynoszą. Zatem mamy dwa rozwiązania

\(\displaystyle{ z_1=\sqrt[4]{2}\left(\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}+i\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{2} \right)-1}\)

oraz

\(\displaystyle{ z_2=-\sqrt[4]{2}\left(\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}+i\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{2} \right)-1}\)

[felek321]

Teraz skoro \(\displaystyle{ \left( z+1 \right) ^2= 1 + i}\) to \(\displaystyle{ z+1= \sqrt{1+i}}\) a wiemy ile te pierwiastki już wynoszą. Zatem mamy dwa rozwiązania

\(\displaystyle{ z_1=\sqrt[4]{2}\left(\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}+i\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{2} \right)-1}\)

oraz

\(\displaystyle{ z_2=-\sqrt[4]{2}\left(\frac{ \sqrt{2+\sqrt{2}} }{2}+i\frac{ \sqrt{2-\sqrt{2}} }{2} \right)-1}\)

Zatem po wykonaniu rachunków wyszło mi ,że te dwie liczby zespolone to :
\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{ \sqrt{2} }{2} + \left( \frac{ \sqrt{2}-2 }{2} \right)i}\)

\(\displaystyle{ z_{2}= \frac{ -\sqrt{2}-4 }{2} + \left( \frac{ -\sqrt{2}+2 }{2} \right)i}\)

Czy wyniki sa prawidłowe?