Stosując wzór na sumę postępu geometrycznego podaj część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ z = \sum_{k=0}^{9} {\left( 1+i \right)}^{k} {\left( 1-i \right)}^{9-k} \\*
z = \sum_{j,k,l=0}^{7} \left( 1+i \right)}^{j+k+l}}\)
Proszę o wskazówkę jak znaleźć iloraz ciągu geometrycznego w tym wypadku (o ile to możliwe), żeby zastosować wzór na sumę.
[edit]
Z pierwszym sobie poradziłem (jeśli ktoś jest zainteresowany, mogę wstawić rozwiązanie). Z drugim wciąż liczę na pomoc.
Suma postępu geometrycznego
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Suma postępu geometrycznego
1.
\(\displaystyle{ a^{10} - b^{10} = (a-b)(a^9 +a^{8}b +a^{7}b^2+...+ ab^{8}+ b^9)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ a^9 +a^{8}b +a^{7}b^3+...+ ab^{8}+ b^9 = \frac{a^{10}- b^{10}}{a-b}.}\)
\(\displaystyle{ a = (1 - i), \ b = (1 + i).}\)
\(\displaystyle{ a^{10} - b^{10} = (a-b)(a^9 +a^{8}b +a^{7}b^2+...+ ab^{8}+ b^9)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ a^9 +a^{8}b +a^{7}b^3+...+ ab^{8}+ b^9 = \frac{a^{10}- b^{10}}{a-b}.}\)
\(\displaystyle{ a = (1 - i), \ b = (1 + i).}\)
-
astreven
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 24 lut 2014, o 00:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
Suma postępu geometrycznego
Nie bardzo rozumiem powyższe rozwiązanie, poza tym sam moduł powinien wynosić chyba dużo więcej. Zrobiłem to w taki sposób:
\(\displaystyle{ z = \sum_{k=0}^{9} {\left( 1+i \right) }^{k} \left( 1+i \right) }^{9-k} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{k}} e^{ \frac{ki \pi }{4}} \sqrt{2^{\left( 9-k \right)}} e^{- \frac{i \pi}{4} \left( 9-k \right) } = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{k+9-k}} e^{\frac{ i \pi}{4}\left( k-9+k \right)} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{9}} e^{\frac{ i \pi}{4}\left( k-9+k) \right)} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{9}} e^{\frac{ i \pi}{4}\left( 2k-9 \right)} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{9}} e^{\frac{ -9i \pi}{4}} e^{\frac{ ki \pi}{2}} = \sqrt{2^{9}} e^{- \frac{i \pi}{4}} \frac{e^{5i \pi} - 1}{e^{i \pi} - 1} = \sqrt{2^{9}} e^{- \frac{i \pi}{4} \frac{e^{i \pi} - 1}{e^{i \pi} - 1}} = \sqrt{2^{9}} e^{- \frac{i \pi}{4}}\)
Następnie, z postaci trygonometrycznej wyszło mi:
\(\displaystyle{ \Re z = \sqrt{2^{9}} \cos{ \frac{- \pi}{4}} = \sqrt{2^{9}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2^{10}}}{2} = 2^{4} = 16 \\
\Im z = \sqrt{2^{9}} \sin{ \frac{- \pi}{4}} = \sqrt{2^{9}} \cdot \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - \frac{\sqrt{2^{10}}}{2} = - 2^{4} = - 16}\)
Czy gdzieś tu jest błąd?
\(\displaystyle{ z = \sum_{k=0}^{9} {\left( 1+i \right) }^{k} \left( 1+i \right) }^{9-k} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{k}} e^{ \frac{ki \pi }{4}} \sqrt{2^{\left( 9-k \right)}} e^{- \frac{i \pi}{4} \left( 9-k \right) } = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{k+9-k}} e^{\frac{ i \pi}{4}\left( k-9+k \right)} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{9}} e^{\frac{ i \pi}{4}\left( k-9+k) \right)} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{9}} e^{\frac{ i \pi}{4}\left( 2k-9 \right)} = \sum_{k=0}^{9} \sqrt{2^{9}} e^{\frac{ -9i \pi}{4}} e^{\frac{ ki \pi}{2}} = \sqrt{2^{9}} e^{- \frac{i \pi}{4}} \frac{e^{5i \pi} - 1}{e^{i \pi} - 1} = \sqrt{2^{9}} e^{- \frac{i \pi}{4} \frac{e^{i \pi} - 1}{e^{i \pi} - 1}} = \sqrt{2^{9}} e^{- \frac{i \pi}{4}}\)
Następnie, z postaci trygonometrycznej wyszło mi:
\(\displaystyle{ \Re z = \sqrt{2^{9}} \cos{ \frac{- \pi}{4}} = \sqrt{2^{9}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2^{10}}}{2} = 2^{4} = 16 \\
\Im z = \sqrt{2^{9}} \sin{ \frac{- \pi}{4}} = \sqrt{2^{9}} \cdot \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - \frac{\sqrt{2^{10}}}{2} = - 2^{4} = - 16}\)
Czy gdzieś tu jest błąd?
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Suma postępu geometrycznego
a Prościej będzie
\(\displaystyle{ z = \sum_{k=0}^{9} {\left( 1+i \right)}^{k} {\left( 1-i \right)}^{9-k}={\green\left( 1-i \right)^9}\sum_{k=0}^{9}\left({\red\frac{1+i}{1-i}}\right)^k}\)
To czerwone się prosto wylicza, to zielone też
\(\displaystyle{ z = \sum_{k=0}^{9} {\left( 1+i \right)}^{k} {\left( 1-i \right)}^{9-k}={\green\left( 1-i \right)^9}\sum_{k=0}^{9}\left({\red\frac{1+i}{1-i}}\right)^k}\)
To czerwone się prosto wylicza, to zielone też