Podejrzane potęgi liczb zespolonych

[Rokush]

Hejka, mam takie zadanie:
"Wykazać że dla każdej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) istnieją takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie wszystkie równe 0, takie że:
\(\displaystyle{ az ^{2014}+bz ^{1963}+cz ^{1410}=0}\) i jak patrze na te wykładniki to poza tym że są to ważne daty dla historii polski nie widzę dla nich żadnego powiązania z liczbami zespolonymi. Macie pomysł jak to zrobić

[leg14]

Cpo ma się dziać z tymi wykładnikami?

[Jan Kraszewski]

"Wykazać że dla każdej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) istnieją takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie wszystkie równe 0, takie że:
\(\displaystyle{ az ^{2014}+bz ^{1963}+cz ^{1410}}\)

Treść zadania nie ma sensu, o czymś zapomniałeś.

i jak patrze na te wykładniki to poza tym że są to ważne daty dla historii polski nie widzę dla nich żadnego powiązania z liczbami zespolonymi. Macie pomysł jak to zrobić

Należy przypuszczać, że konkretny wygląd wykładników nie ma znaczenia dla rozwiązania tego zadania.

JK

[Rokush]

Tak, powinno być że jest równe 0, już poprawiłem treść

[Jan Kraszewski]

Ja bym popatrzył na \(\displaystyle{ \CC}\) jako przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\). Wtedy to pytanie tłumaczy się na "Wykaż, że wektory \(\displaystyle{ z ^{2014},z ^{1963},z ^{1410}}\) są liniowo zależne".

JK

[Rokush]

Ale żeby sprawdzić że są liniowo zależne muszę wykazać że istnieją takie \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie wszystkie 0, że zachodzi \(\displaystyle{ az ^{2014}+bz ^{1463}+cz ^{1410}=0}\) i wracamy tak naprawdę do początku zadania

[Jan Kraszewski]

Nie zrozumiałeś. To była wskazówka.

Żeby sprawdzić, że są liniowo zależne, wcale nie musisz wskazywać takich \(\displaystyle{ a,b,c}\). Wystarczy wiedzieć, jaki jest wymiar \(\displaystyle{ \CC}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \RR}\).

JK

[Rokush]

A jaki jest? Bo szczerze nie mam pojęcia jak sprawdzić wymiar \(\displaystyle{ \CC}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \RR}\). I jak już będę wiedział jaki jest to co to ma do tych wykładników?

[Janusz Tracz]

Wymiar to liczność bazy. Jak można przykładowo zapisać \(\displaystyle{ \CC}\) jako liniową kombinację pewnych wektorów?

wskazówka:    

\(\displaystyle{ \CC=\left\{ x+iy: x,y\in\RR \right\}=\text{lin}\left\{ 1,i\right\}}\)

Zatem ile elementów na taka baza? Pozostało Ci stwierdzić co się dzieje gdy w bazie jest więcej wektorów niż potrzeba oraz co oznacza liniowa zależność.

[Jan Kraszewski]

I jak już będę wiedział jaki jest to co to ma do tych wykładników?

Do wykładników nie ma nic, bo wykładniki są nieistotne. Chodzi tylko o to, że masz trzy wektory w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \CC}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\).

JK