Geometryczna własność

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Geometryczna własność

Post autor: niunix98 »

Niech \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{C}}\) są różne i \(\displaystyle{ |a| = |b| = |c| = 1}\). Udowodnić:

\(\displaystyle{ \frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) } \in \mathbb{R}}\).

Jest to część rozwiązania pewnego zadania geometrycznego, w którym autor napisał ten ułamek i uznał, że oczywistym jest, że należy on do liczb rzeczywistych. Czy jest to jakiś znany fakt, którego nie widzę czy może po prostu jakoś łatwo się to oblicza?
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Geometryczna własność

Post autor: MrCommando »

Robisz tak:

Niech \(\displaystyle{ \lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }}\).
Po rozszerzeniu na pałę odpowiednich ułamków, skorzystaniu z faktu, że \(\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=|z|^2}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\), liniowości sprzężenia i tak dalej, otrzymamy:

\(\displaystyle{ \lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }=\frac{(a-b)(ab+1)ac\cdot abc}{ab \cdot abc(a-c)(ac+1)}=\frac{(b-a)(abc+c)}{(c-a)(abc+b)}=\frac{(\frac{1}{\overline{a}}-\frac{1}{\overline{b}})(\frac{1}{\overline{c}}+\frac{1}{\overline{abc}})}{(\frac{1}{\overline{c}}-\frac{1}{\overline{a}})(\frac{1}{\overline{b}}+\frac{1}{\overline{abc}})}=\\=\overline{\left(\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }\right)}=\overline{\lambda}}\).

Zatem okazało się, że dana liczba równa jest swojemu sprzężeniu, zatem musi być rzeczywista, bo \(\displaystyle{ \lambda-\overline{\lambda}=2iIm(\lambda)=0}\), stąd \(\displaystyle{ Im(\lambda)=0}\).
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: Geometryczna własność

Post autor: niunix98 »

Dzięki wielkie:)
ODPOWIEDZ