Niech \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{C}}\) są różne i \(\displaystyle{ |a| = |b| = |c| = 1}\). Udowodnić:
\(\displaystyle{ \frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) } \in \mathbb{R}}\).
Jest to część rozwiązania pewnego zadania geometrycznego, w którym autor napisał ten ułamek i uznał, że oczywistym jest, że należy on do liczb rzeczywistych. Czy jest to jakiś znany fakt, którego nie widzę czy może po prostu jakoś łatwo się to oblicza?
Geometryczna własność
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Geometryczna własność
Robisz tak:
Niech \(\displaystyle{ \lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }}\).
Po rozszerzeniu na pałę odpowiednich ułamków, skorzystaniu z faktu, że \(\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=|z|^2}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\), liniowości sprzężenia i tak dalej, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }=\frac{(a-b)(ab+1)ac\cdot abc}{ab \cdot abc(a-c)(ac+1)}=\frac{(b-a)(abc+c)}{(c-a)(abc+b)}=\frac{(\frac{1}{\overline{a}}-\frac{1}{\overline{b}})(\frac{1}{\overline{c}}+\frac{1}{\overline{abc}})}{(\frac{1}{\overline{c}}-\frac{1}{\overline{a}})(\frac{1}{\overline{b}}+\frac{1}{\overline{abc}})}=\\=\overline{\left(\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }\right)}=\overline{\lambda}}\).
Zatem okazało się, że dana liczba równa jest swojemu sprzężeniu, zatem musi być rzeczywista, bo \(\displaystyle{ \lambda-\overline{\lambda}=2iIm(\lambda)=0}\), stąd \(\displaystyle{ Im(\lambda)=0}\).
Niech \(\displaystyle{ \lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }}\).
Po rozszerzeniu na pałę odpowiednich ułamków, skorzystaniu z faktu, że \(\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=|z|^2}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\), liniowości sprzężenia i tak dalej, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \lambda=\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }=\frac{(a-b)(ab+1)ac\cdot abc}{ab \cdot abc(a-c)(ac+1)}=\frac{(b-a)(abc+c)}{(c-a)(abc+b)}=\frac{(\frac{1}{\overline{a}}-\frac{1}{\overline{b}})(\frac{1}{\overline{c}}+\frac{1}{\overline{abc}})}{(\frac{1}{\overline{c}}-\frac{1}{\overline{a}})(\frac{1}{\overline{b}}+\frac{1}{\overline{abc}})}=\\=\overline{\left(\frac{( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} ) }{ ( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} )( \frac{1}{b} + \frac{1}{abc} ) }\right)}=\overline{\lambda}}\).
Zatem okazało się, że dana liczba równa jest swojemu sprzężeniu, zatem musi być rzeczywista, bo \(\displaystyle{ \lambda-\overline{\lambda}=2iIm(\lambda)=0}\), stąd \(\displaystyle{ Im(\lambda)=0}\).