Potęgowanie liczb zespolonych
Potęgowanie liczb zespolonych
Obliczyć \(\displaystyle{ \left( {\frac{- \sqrt{2}- \sqrt{2}i }{4}} \right) ^{10}}\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2019, o 15:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
\(\displaystyle{ \left( {\frac{- \sqrt{2}- \sqrt{2}i }{4}} \right) ^{10}=\left( \frac{1}{2}\left( \cos \frac{5 \pi }{4}+i \sin \frac{5 \pi }{4}\right) \right) ^{10}= \frac{1}{2^{10}}\left( \cos \frac{50 \pi }{4}+i \sin \frac{50 \pi }{4}\right)=\\= \frac{1}{1024}\left( \cos \frac{ \pi }{2}+i \sin \frac{ \pi }{2}\right)=\frac{i}{1024}}\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2019, o 15:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Zauważ że:
\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2}- i\sqrt{2} }{4} \right)^{10}= \left( \frac{- \sqrt{2} }{4}\right)^{10} \cdot \left( \left( 1+i\right)^{2}\right)^{5}}\)
teraz łatwo policzyć że
\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2} }{4}\right)^{10}=2^{-15}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( \left( 1+i\right)^{2}\right)^{5}=\left( 2i\right)^5=2^5i^4i=i2^5}\)
zatem
\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2}- i\sqrt{2} }{4} \right)^{10}= \frac{i}{2^{10}}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2}- i\sqrt{2} }{4} \right)^{10}= \left( \frac{- \sqrt{2} }{4}\right)^{10} \cdot \left( \left( 1+i\right)^{2}\right)^{5}}\)
teraz łatwo policzyć że
\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2} }{4}\right)^{10}=2^{-15}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( \left( 1+i\right)^{2}\right)^{5}=\left( 2i\right)^5=2^5i^4i=i2^5}\)
zatem
\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2}- i\sqrt{2} }{4} \right)^{10}= \frac{i}{2^{10}}}\)