Potęgowanie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ajsza94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 23 lis 2018, o 09:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Dubiecko

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: ajsza94 »

Obliczyć \(\displaystyle{ \left( {\frac{- \sqrt{2}- \sqrt{2}i }{4}} \right) ^{10}}\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2019, o 15:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ \left( {\frac{- \sqrt{2}- \sqrt{2}i }{4}} \right) ^{10}=\left( \frac{1}{2}\left( \cos \frac{5 \pi }{4}+i \sin \frac{5 \pi }{4}\right) \right) ^{10}= \frac{1}{2^{10}}\left( \cos \frac{50 \pi }{4}+i \sin \frac{50 \pi }{4}\right)=\\= \frac{1}{1024}\left( \cos \frac{ \pi }{2}+i \sin \frac{ \pi }{2}\right)=\frac{i}{1024}}\)
Ostatnio zmieniony 11 sty 2019, o 15:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: Janusz Tracz »

Zauważ że:

\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2}- i\sqrt{2} }{4} \right)^{10}= \left( \frac{- \sqrt{2} }{4}\right)^{10} \cdot \left( \left( 1+i\right)^{2}\right)^{5}}\)

teraz łatwo policzyć że

\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2} }{4}\right)^{10}=2^{-15}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \left( \left( 1+i\right)^{2}\right)^{5}=\left( 2i\right)^5=2^5i^4i=i2^5}\)

zatem

\(\displaystyle{ \left( \frac{- \sqrt{2}- i\sqrt{2} }{4} \right)^{10}= \frac{i}{2^{10}}}\)
ODPOWIEDZ