rownanie zespolone

[bakoish]

\(\displaystyle{ \left| [(1+i)z -2]\right| \ge 4}\) ma ktos jakis pomysl jak to rozwiazac?

[a4karo]

Czy ten nawias kwadratowy cokolwiek oznacza?

[janusz47]

\(\displaystyle{ |(1+i)z-2 |\geq 4}\)

\(\displaystyle{ | (1+i) (x+iy) -2 |\geq 4}\)
.........................................
\(\displaystyle{ [(x-y)-2]^2 +(x+y)^2\geq 4}\)

...............................................

\(\displaystyle{ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y +\frac{1}{2}\right)^2 \geq \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2.}\)

Rozwiązaniem nierówności są wszystkie punkty płaszczyzny zespolonej Gaussa leżące na brzegu i na zewnątrz koła o środku \(\displaystyle{ z_{0} = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) równym \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}.}\)

[a4karo]

Punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\), czyli \(\displaystyle{ z=0}\) spełnia "januszową" nierówność, ale nie spełnia wyjściowej.
Janusz, szukaj błedu...

Ja wolę takie podejście
\(\displaystyle{ |(1+i)z-2|=|1+i|\left|z-\frac{2}{1+i}\right|=\sqrt{2}|z-(1-i)|\geq 4}\)

czyli
\(\displaystyle{ |z-(1-i)|\geq 2\sqrt{2}}\)

Rozwiązaniem jest więc zewnętrze koła o środku \(\displaystyle{ 1-i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) wraz z brzegiem