Istnieje z takie, że

[Percepton]

Ma ktoś pomysł jak mogę pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ w}\) zespolonego istnieje \(\displaystyle{ z}\) zespolone, że \(\displaystyle{ \sin(z) = w}\)?
Próbuję cokolwiek pokazać z definicji sinusa przy pomocy szeregu nieskończonego ale wcale mi to nie idzie.

[szw1710]

\(\displaystyle{ \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=w.}\) Stąd wylicz \(\displaystyle{ z}\). Podobne zadanie robi się z sinusem hiperbolicznym na prostej. Występuje wtedy równanie kwadratowe z parametrem. Tu też tak powinno wyjść.

[Percepton]

gdy wezmę \(\displaystyle{ k = e^{iz}}\)
to wychodzi mi \(\displaystyle{ k = 2wi \pm \sqrt{4-4w^2}}\)
da się jakoś ładnie z tego \(\displaystyle{ z}\) wyliczyć?

[Psiaczek]

tak jak ci mówi przedmówca skorzystaj ze wzoru:

\(\displaystyle{ \sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)

chyba wychodzi \(\displaystyle{ z=-i\log(iw\mp \sqrt{1-w^2})}\) albo coś zbliżonego

[Percepton]

Dziękuję wam