Liczby \(\displaystyle{ \alpha_1,...,\alpha_n}\) są zespolonymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ 1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}=0}\). Ile jest równe \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\alpha_i}}\)?
Proszę o wskazówkę
równanie z liczbami zespolonymi
- Bratower
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 64 razy
- Pomógł: 2 razy
równanie z liczbami zespolonymi
Ostatnio zmieniony 18 gru 2018, o 17:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
równanie z liczbami zespolonymi
Wzory wyczuwam. Zauważ że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha_i}= \frac{ \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _n+...+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _{n-1}}{ \alpha _1 \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n}}\)
W liczniku jest iloczyn wszystkich bez \(\displaystyle{ i}\) tego a w mianowniku jest iloczyn wszystkich pierwiastków. Teraz właśnie podane wzory stosujemy.
\(\displaystyle{ \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _n+...+\alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _{n-1}=(-1)^{n-1} \frac{a_1}{a_n}=(-1)^{n-1} \frac{1}{ \frac{1}{n!} }}\)
\(\displaystyle{ \alpha _1 \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n=(-1)^n \frac{a_0}{a_n}=(-1)^{n} \frac{1}{ \frac{1}{n!} }}\)
czyli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} =-1}\)
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha_i}= \frac{ \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _n+...+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _{n-1}}{ \alpha _1 \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n}}\)
W liczniku jest iloczyn wszystkich bez \(\displaystyle{ i}\) tego a w mianowniku jest iloczyn wszystkich pierwiastków. Teraz właśnie podane wzory stosujemy.
\(\displaystyle{ \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _n+...+\alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _{n-1}=(-1)^{n-1} \frac{a_1}{a_n}=(-1)^{n-1} \frac{1}{ \frac{1}{n!} }}\)
\(\displaystyle{ \alpha _1 \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n=(-1)^n \frac{a_0}{a_n}=(-1)^{n} \frac{1}{ \frac{1}{n!} }}\)
czyli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} =-1}\)
- Bratower
- Użytkownik
- Posty: 103
- Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 64 razy
- Pomógł: 2 razy
równanie z liczbami zespolonymi
Dzięki za odpowiedź. Pierwszy raz spotkałem się z takimi wzorami. Zadanie zapowiadało się na dosyć zagmatwane, mimo to rozwiązanie jest całkiem ładne.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
równanie z liczbami zespolonymi
Można inaczej. Żaden z pierwiastków nie jest zerowy, więc te odwrotnosci są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^nW(1/x)}\). Dalej wnioskuj że wzorów Viete'a