równanie z liczbami zespolonymi

[Bratower]

Liczby \(\displaystyle{ \alpha_1,...,\alpha_n}\) są zespolonymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ 1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}=0}\). Ile jest równe \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\alpha_i}}\)?
Proszę o wskazówkę

[Janusz Tracz]

Wzory

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a

wyczuwam. Zauważ że:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha_i}= \frac{ \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _n+...+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _{n-1}}{ \alpha _1 \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n}}\)

W liczniku jest iloczyn wszystkich bez \(\displaystyle{ i}\) tego a w mianowniku jest iloczyn wszystkich pierwiastków. Teraz właśnie podane wzory stosujemy.

\(\displaystyle{ \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n+\alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha _n+...+\alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _{n-1}=(-1)^{n-1} \frac{a_1}{a_n}=(-1)^{n-1} \frac{1}{ \frac{1}{n!} }}\)

\(\displaystyle{ \alpha _1 \alpha _2 \cdot ... \cdot \alpha _n=(-1)^n \frac{a_0}{a_n}=(-1)^{n} \frac{1}{ \frac{1}{n!} }}\)

czyli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} =-1}\)

[Bratower]

Dzięki za odpowiedź. Pierwszy raz spotkałem się z takimi wzorami. Zadanie zapowiadało się na dosyć zagmatwane, mimo to rozwiązanie jest całkiem ładne.

[a4karo]

Można inaczej. Żaden z pierwiastków nie jest zerowy, więc te odwrotnosci są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^nW(1/x)}\). Dalej wnioskuj że wzorów Viete'a