Równanie w liczbach zespolonych

[pietro123]

Witam, mam problem z rozwiązaniem takiego równania : \(\displaystyle{ z^{4} + 1 = 0}\)

Próbowałem najpierw rozbić to na dwa nawiasy \(\displaystyle{ \left( z^{2} + 1 \right) \left( z^{2} + 1 \right) - 2z^{2}}\) później układem współrzędnych, ale nie wiem jak to rozwiązać. Zależy mi na całym rozwiązaniu, gdyż kolokwium niedługo i trzeba jakoś wydedukować jak robić podobne przykłady. Pozdrawiam

[szw1710]

Jeśli zależy Ci na całym rozwiązaniu - od tego są płatne korepetycje. Tu wolontariusze dają wskazówki.

Zacznij od tego: \(\displaystyle{ z^4+1=(z^2+i)(z^2-i).}\)

[pietro123]

No tak, zapomniałem o podstawowej rzeczy że \(\displaystyle{ i^{2} = -1}\) . Dziękuje za wskazówkę, już mi wszystko wyszło.

[PoweredDragon]

Na przyszłość (dla potomnych), iloczyny z zespolonymi są ble (metoda poprawna, ale często bardziej czasochłonna). Różnica kwadratów prawdę ci powie

\(\displaystyle{ \left( z^{2} + 1 \right) \left( z^{2} + 1 \right) - 2z^{2}}\)
Z wzoru skróconego mnożenia

\(\displaystyle{ (z^2+1+z\sqrt{2})(z^2+1-z\sqrt{2}) = 0}\) no i teraz równanie kwadratowe