Równania w zbiorze liczb zespolonych.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
tppps
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 29 lis 2018, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równania w zbiorze liczb zespolonych.

Post autor: tppps » 4 gru 2018, o 19:11

Witam, potrzebuję pomocy z poniższymi przykładami. Polecenie: rozwiąż równania.
1.a) \(\displaystyle{ (1+i)z^{2}-(2-i)z-i=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 8 + i^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta } = \sqrt{7} = i \sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{2-i- i \sqrt{7}}{2+2i} \\ z_2 = \frac{2-i+i \sqrt{7}}{2+2i}}\)
Poźniej próbowałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{2-i- i \sqrt{7}}{2+2i} \cdot \frac{2-2i}{2-2i}}\)
I idąc od tego momentu dalej mam wyniki różniące się znacznie od tych podawanych przez różne internetowy programy obliczające wyniki takich działań. Proszę o pomoc w doprowadzeniu tego do końca (jeżeli stan do tego momentu jest ok).

1.b) \(\displaystyle{ z^{6} - 7z^{3} - 8 = 0}\)
\(\displaystyle{ z^{3} = t}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in}\) do zbioru liczb zespolonych?
\(\displaystyle{ t^{2} - 7t - 8 = 0}\) W ten sposób?

2.a) Miałem naszkicować zbiór na płaszczyźnie.
\(\displaystyle{ z \in C: z^{2}-2iz+3=0 \wedge |z-2+i|>2}\)
\(\displaystyle{ |z-z_0| \le R \\ |z-(2-i)|>2 \ \ \rightarrow z_0 = 2 - i \\ z^{2}-2iz+3=0 \rightarrow z_1 = -i \ z_2 = 3i}\)
Podsumowując: wyznaczyłem okrąg w układzie współrzędnych, zakreskowałem całe zewnętrze tego okręgu, z pierwszego równania dostałem dwa rozwiązania \(\displaystyle{ z_1 \ , \ z_2}\) i zaznaczyłem je w układzie współrzędnych. Rozwiązanie jest w porządku?
Ostatnio zmieniony 4 gru 2018, o 19:46 przez tppps, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Równania w zbiorze liczb zespolonych.

Post autor: Peter Zof » 4 gru 2018, o 19:40

tppps pisze: f) \(\displaystyle{ z^{6} - 7z^{3} - 8 = 0}\)
\(\displaystyle{ z^{3} = t}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in}\) do zbioru liczb zespolonych?
\(\displaystyle{ t^{2} - 7t - 8 = 0}\) W ten sposób?
Wychodzi, że \(\displaystyle{ t=4}\) lub \(\displaystyle{ t=-1}\). Musisz jednak wrócić do starej zmiennej \(\displaystyle{ z}\) i rozwiązać dwa równania zespolone: \(\displaystyle{ z^3=4}\) oraz \(\displaystyle{ z^3=-1}\). Jeśli zaś chodzi o pierwszą część, to równanie wygląda dość podejrzanie, to znaczy \(\displaystyle{ (1+i)z^2-\color{red}(2-1)\color{black}z-i=0}\). Zakładając nawet, że tak jest to nie zgadza się to z dalszym wyliczeniem wyróżnika trójmianu.

tppps
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 29 lis 2018, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Równania w zbiorze liczb zespolonych.

Post autor: tppps » 4 gru 2018, o 19:45

Peter Zof pisze:
tppps pisze: f) \(\displaystyle{ z^{6} - 7z^{3} - 8 = 0}\)
\(\displaystyle{ z^{3} = t}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in}\) do zbioru liczb zespolonych?
\(\displaystyle{ t^{2} - 7t - 8 = 0}\) W ten sposób?
Wychodzi, że \(\displaystyle{ t=4}\) lub \(\displaystyle{ t=-1}\). Musisz jednak wrócić do starej zmiennej \(\displaystyle{ z}\) i rozwiązać dwa równania zespolone: \(\displaystyle{ z^3=4}\) oraz \(\displaystyle{ z^3=-1}\). Jeśli zaś chodzi o pierwszą część, to równanie wygląda dość podejrzanie, to znaczy \(\displaystyle{ (1+i)z^2-\color{red}(2-1)\color{black}z-i=0}\). Zakładając nawet, że tak jest to nie zgadza się to z dalszym wyliczeniem wyróżnika trójmianu.
Wkradł się mały błąd, dziękuję. Powinno tam być \(\displaystyle{ (1+i)z^2-(2-\color{green}i\color{black})z-i=0}\)

Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Równania w zbiorze liczb zespolonych.

Post autor: Peter Zof » 4 gru 2018, o 23:12

W takim razie \(\displaystyle{ \Delta=-1}\)

ODPOWIEDZ