Udowodnić nierówność

[camillus25]

Mam udowodnić, że:

\(\displaystyle{ a _{i},b _{i}\in \RR}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2} }+\sqrt{a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2} }+...+\sqrt{a _{n} ^{2} +b _{n} ^{2} } \ge \sqrt{(a _{1}+a _{2}+...+a _{n}) ^{2}+(b _{1}+b _{2}+...+b _{n}) ^{2} }}\)

Niech: \(\displaystyle{ z _{k} =a _{k}+ib _{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...n}\)

\(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|+...+ \ge |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}|}\)

\(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|\ge |z _{1}+z _{2}|}\)

\(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|+|z _{3}| \ge |z _{1}+z _{2}|+|z _{3}|\ge |z _{1}+z _{2}+z _{3}|}\)

Jak pokazać, że to zachodzi w ten sposób dla wszyskich \(\displaystyle{ z?}\)

[Janusz Tracz]

Indukcyjnie. Jeśli ustalimy takie \(\displaystyle{ n}\) że \(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|+...+|z_n| \ge |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}|}\) to

\(\displaystyle{ |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}+z_{n+1}| \le |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}|+|z_{n+1}| \le |z _{1}|+|z _{2}|+...+|z_n|+|z_{n+1}|}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność jest oczywiście prawdziwa a dla \(\displaystyle{ n=2}\) to jest nierówność trójkąta .