Mam udowodnić, że:
\(\displaystyle{ a _{i},b _{i}\in \RR}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2} }+\sqrt{a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2} }+...+\sqrt{a _{n} ^{2} +b _{n} ^{2} } \ge \sqrt{(a _{1}+a _{2}+...+a _{n}) ^{2}+(b _{1}+b _{2}+...+b _{n}) ^{2} }}\)
Niech: \(\displaystyle{ z _{k} =a _{k}+ib _{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...n}\)
\(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|+...+ \ge |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}|}\)
\(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|\ge |z _{1}+z _{2}|}\)
\(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|+|z _{3}| \ge |z _{1}+z _{2}|+|z _{3}|\ge |z _{1}+z _{2}+z _{3}|}\)
Jak pokazać, że to zachodzi w ten sposób dla wszyskich \(\displaystyle{ z?}\)
Udowodnić nierówność
- camillus25
- Użytkownik
- Posty: 160
- Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 27 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Udowodnić nierówność
Indukcyjnie. Jeśli ustalimy takie \(\displaystyle{ n}\) że \(\displaystyle{ |z _{1}|+|z _{2}|+...+|z_n| \ge |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}|}\) to
\(\displaystyle{ |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}+z_{n+1}| \le |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}|+|z_{n+1}| \le |z _{1}|+|z _{2}|+...+|z_n|+|z_{n+1}|}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność jest oczywiście prawdziwa a dla \(\displaystyle{ n=2}\) to jest nierówność trójkąta .
\(\displaystyle{ |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}+z_{n+1}| \le |z _{1}+z _{2}+...+z _{n}|+|z_{n+1}| \le |z _{1}|+|z _{2}|+...+|z_n|+|z_{n+1}|}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność jest oczywiście prawdziwa a dla \(\displaystyle{ n=2}\) to jest nierówność trójkąta .