Narysować na płaszczyźnie zespolonej

kylercopeland · Post autor: **kylercopeland** » 1 gru 2018, o 20:22

Narysować na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ Re(z^3) \ge Im(z^3)}\)

Podstawiłem \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i wyszło mi: \(\displaystyle{ a^3-3ab^2 \ge 3a^2b-b^3}\)

Ale jak to narysować nie wiem.

Siemorod · Post autor: **Siemorod** » 1 gru 2018, o 20:23

kylercopeland pisze:Narysować na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ Re(z^3) \ge Im(z^3)}\)

Podstawiłem \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i wyszło mi: \(\displaystyle{ a^3-3ab^2 \ge 3a^2b-b^3}\)

Ale jak to narysować nie wiem.

Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę i skorzystaj z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.

kylercopeland · Post autor: **kylercopeland** » 1 gru 2018, o 20:26

Odpowiedniego to znaczy którego?

Siemorod · Post autor: **Siemorod** » 1 gru 2018, o 20:33

kylercopeland pisze:Odpowiedniego to znaczy którego?

Wzór na sześcian sumy:
\(\displaystyle{ a^3 - 3a^2b-3ab^2 +b^3 \ge 0 \\
(a+b)^3 - 6a^2b-6ab^2 \ge 0 \\
(a+b)^3 - 6ab(a+b) \ge 0 \\
((a+b)^2 - 6ab)(a+b) \ge 0 \\
(a^2-4ab+b^2)(a+b) \ge 0}\)
Pozostaje rozłożyć wyrażenie kwadratowe powyżej i zbadać jego znak.

kylercopeland · Post autor: **kylercopeland** » 1 gru 2018, o 21:08

No dobrze, ale w dalszym ciągu nie wiem jak to narysować. Co to będzie w układzie współrzędnych? Koło? Prosta?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 1 gru 2018, o 21:13

A zrobiłeś to:

Siemorod pisze:\(\displaystyle{ (a^2-4ab+b^2)(a+b) \ge 0}\)
Pozostaje rozłożyć wyrażenie kwadratowe powyżej i zbadać jego znak.

?

JK

kylercopeland · Post autor: **kylercopeland** » 1 gru 2018, o 21:18

Tak, aczkolwiek nie wiem czy o taki rozkład chodzi:

\(\displaystyle{ (a-2b)^2-3b^2}\)

Siemorod · Post autor: **Siemorod** » 1 gru 2018, o 21:26

kylercopeland pisze:Tak, aczkolwiek nie wiem czy o taki rozkład chodzi:

\(\displaystyle{ (a-2b)^2-3b^2}\)

Równość \(\displaystyle{ (a-2b)^2-3b^2=0}\) wyznacza parę przecinających się prostych. Nierówność \(\displaystyle{ (a-2b)^2-3b^2 \ge 0}\) rozwiązuję się dzieląc ją na przypadki:
\(\displaystyle{ a-2b\ge \sqrt{3} b \vee a-2b \le - \sqrt{3} b}\)

Swoją drogą, można do tego zadania podejść alternatywnie podstawieniem trygonometrycznym, które wówczas szybko prowadzi do prostej nierówności \(\displaystyle{ \cos 3 \varphi \ge \sin 3 \varphi}\).

kylercopeland · Post autor: **kylercopeland** » 2 gru 2018, o 01:21

Siemorod pisze:Swoją drogą, można do tego zadania podejść alternatywnie podstawieniem trygonometrycznym, które wówczas szybko prowadzi do prostej nierówności \(\displaystyle{ \cos 3 \varphi \ge \sin 3 \varphi}\).

Tym sposobem wyszło mi \(\displaystyle{ \varphi \in \left[ - \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{12} \right]}\)

Może ktoś sprawdzić?

Siemorod · Post autor: **Siemorod** » 2 gru 2018, o 10:52

Coś mało tych kątów.
Patrz (metoda "walec"):
\(\displaystyle{ \sin 3 \varphi - \cos 3 \varphi \le 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin 3 \varphi - \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos 3 \varphi \le 0}\)
Ze wzoru na sinus sumy:
\(\displaystyle{ \sin \left( 3 \varphi - \frac{ \pi}{4} \right) \le 0}\)
A sinus jest niedodatni dla argumentów z przedziału \(\displaystyle{ \left[ (2k-1)\pi, 2k\pi \right], k \in \mathbb{Z}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 3 \varphi - \frac{\pi}{4}\in \left[ (2k-1)\pi, 2k\pi \right]}\)
\(\displaystyle{ 3 \varphi \in \left[ (2k-1)\pi+\frac{ \pi}{4}, 2k\pi+\frac{\pi}{4} \right]}\)
\(\displaystyle{ \varphi \in \left[ \frac{(2k-1)\pi}{3}+\frac{ \pi}{12}, \frac{2k\pi}{3}+\frac{ \pi}{12} \right]}\)
Nas interesuje \(\displaystyle{ \varphi}\) z przedziału \(\displaystyle{ left[ 0, 2pi
ight)}\) i takie musisz znaleźć z powyższego zbioru. Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem w rozwiązywaniu.

Matematyka.pl