Zbiór liczb zespolonych

[xxdakee]

Korzystająć z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spełniających warunki:

\(\displaystyle{ |\overline{z}+2-3i|<5}\)

Doszedłem do takiej nierówności:

\(\displaystyle{ (x+2)^2 + (-y-3)^2 < 25}\)

I nie wiem co dalej. Bo jeśli przed \(\displaystyle{ y}\) jest \(\displaystyle{ -}\) to nie jest to równanie okręgu prawda?

[Benny01]

\(\displaystyle{ (-y-3)^2=(y+3)^2}\)
Poza tym jest to i tak źle.
\(\displaystyle{ (x+2)^2+(y-3)^2<25}\)

[xxdakee]

\(\displaystyle{ (-y-3)^2=(y+3)^2}\)
Poza tym jest to i tak źle.
\(\displaystyle{ (x+2)^2+(y-3)^2<25}\)

To jak powinno być? I co jest źle?

[MrCommando]

Mamy \(\displaystyle{ |\overline{z}-(-2+3i)|<5}\). Taka nierówność opisuje koło otwarte o środku w punkcie \(\displaystyle{ (-2,3)}\) i promieniu 5. Sprzężenia poszukiwanych przez nas liczb leżą w tym kole. Z definicji i własności sprzężenia wynika, że \(\displaystyle{ \overline{z}-(-2+3i)=\overline{z}+2-3i=\overline{z}+\overline{2+3i}=\overline{z+2+3i}=\overline{z-(-2-3i)}}\). Ale oczywiście dla każdego \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\) jest \(\displaystyle{ |z|=|\overline{z}|}\), zatem \(\displaystyle{ |\overline{z}-(-2+3i)|=|\overline{z-(-2-3i)}|=|z-(-2-3i)|}\), zatem \(\displaystyle{ |z-(-2-3i)|<5}\). Teraz widać w jakim zbiorze leżą poszukiwane liczby.

[xxdakee]

A jak sytuacja będzie wyglądała dla
\(\displaystyle{ |z^2 + 2iz -1|<9}\)

[MrCommando]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ z^2+2iz-1=(z+i)^2}\).