Korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ \frac{1}{1+w}=1-w+w^2-...+(-1)^{n-1}w^{n-1}+(-1)^n \frac{w^n}{1+w}}\) wykaż, że dla \(\displaystyle{ z=e^{i\theta},\pi<\theta<\pi}\) zachodzi \(\displaystyle{ Log (1+z)=z- \frac{z^2}{2}+ \frac{z^3}{3}-...+(-1)^n \frac{z^n}{n}+R_n(z)}\), gdzie
\(\displaystyle{ R_n(z)=(-1)^n \int_{[0,z]}^{} \frac{w^n}{1+w}dw}\).
Czy tutaj wystarczy scałkować tą wskazówkę? W sensie:
\(\displaystyle{ \int_{[0,z]}^{} \frac{1}{1+w}dw= \int_{[0,z]}^{} 1-w+w^2-...+(-1)^{n-1}w^{n-1}+(-1)^n \frac{w^n}{1+w}dw}\) z czego wynika:
\(\displaystyle{ Log (1+z)=z- \frac{z^2}{2}+ \frac{z^3}{3}-...+(-1)^n \frac{z^n}{n}+R_n(z)}\)
i tyle? I czy tam nie ma literówki w zadaniu, w sensie czy zamiast \(\displaystyle{ (-1)^n \frac{z^n}{n}}\) nie powinno być: \(\displaystyle{ (-1)^{n-1} \frac{z^n}{n}}\) ??