Udowodnić wzór

[camillus25]

Mam udowodnić ten wzór korzystając z własności liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ x\in \RR,n\in \NN}\)
\(\displaystyle{ 1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos(nx)= \frac{\sin((n+1) \frac{x}{2}) }{\sin( \frac{x}{2}) }\cos( \frac{n}{2}x)}\)

Więc zacząłem w ten sposób:

\(\displaystyle{ 1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos(nx)= \Re (1+e ^{ix}+e ^{i2x}+...+e ^{inx})}\)

Korzystając na sumę ciągu geometrycznego zapisuje, że:

\(\displaystyle{ \Re \frac{1-(e ^{ix}) ^{n} }{1-e ^{ix} }=\Re \frac{1-(e ^{inx}) }{1-e ^{ix} }}\)

Proszę o jakąś wskazówkę co powinienem dalej zrobić.

[Psiaczek]

Jeśli już musisz to robić z zespolonych ( wydaje mi się że są szybsze sposoby) to ja bym wystartował z wzoru:

\(\displaystyle{ \cos x= \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\cos kx= \sum_{k=0}^{n}\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}= \frac{1}{2} (\sum_{k=0}^{n} e^{ikx}+\sum_{k=0}^{n} e^{-ikx})}\)

wzór na geometryczny,trochę poprzekształcać , pozwijać znów na końcu do cosinusów.

[octahedron]

\(\displaystyle{ 1+e ^{ix}+e ^{i2x}+...+e ^{inx}=\frac{1-e^{i{\color{red}(n+1)}x}}{1-e^{ix}}\\\\
1-e^{i(n+1)x}=1-\cos (n+1)x-i\sin (n+1)x=\cos^2\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)-\\\\-\cos\left(2\cdot\frac{(n+1)x}{2}\right)-i\sin\left(2\cdot\frac{(n+1)x}{2}\right)=...}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ z = \cos(x)+i\sin(x).}\)

Ze wzoru de Moivre'a:

\(\displaystyle{ z^{k} = \cos(kx) +i\sin(kx)}\)

\(\displaystyle{ \cos kx = \Re[ z^{k}], \ \ k=0,1,2,...,n.}\)

\(\displaystyle{ 1 +\cos x+\cos 2x+...+\cos nx = \Re[ 1+z + ...+ z^{n}] = \Re\left[ \frac{1 -z^{n+1}}{1 -z}\right] = \Re\left[ \frac{1-\cos(n+1)x -i\sin(n+1)x}{1 -\cos x-i\sin x}\right] = \Re\left \frac{2\sin^2\frac{(n+1)x}{2}- 2i\sin \frac{(n+1)x}{2}\cos\frac{(n+1)x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}-2i\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}= \Re \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}-i \cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}- i\cos\frac{x}{2}}= \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \Re \left( \sin\frac{(n+1)x}{2}- i\cos\frac{(n+1)x}{2}\right) \left(\sin\frac{x}{2}+i\cos\frac{x}{2}\right)=\\ = \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\left( \sin\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{(n+1)x}{2}\cos\frac{x}{2}\right)= \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\cos\frac{nx}{2} \ \ (1)}\)

Wzór (1) jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ z\neq 1, \ \ x \neq 2k\pi, \ \ k\in \ZZ.}\)

Dla \(\displaystyle{ x = 2k\pi}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 1 +\cos 2k\pi + \cos 4 k\pi+...+ \cos n2k\pi = n+1.}\)

[camillus25]

janusz47, Dziękuje Ci bardzo. Mógłbyś mi powiedzieć co tu się stało?

\(\displaystyle{ \Re\left[ \frac{1-\cos(n+1)x -i\sin(n+1)x}{1 -\cos x-i\sin x}\right] = \Re\left \frac{2\sin^2\frac{(n+1)x}{2}- 2i\sin \frac{(n+1)x}{2}\cos\frac{(n+1)x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}-2i\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}}\)

[janusz47]

Zastosowałem w liczniku i mianowniku "trygonometryczne wzory połówkowe"

\(\displaystyle{ 1 -\cos(x) = 1 -\cos\left(2\frac{x}{2}\right) = 1- \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+ \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) =2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right).}\)

\(\displaystyle{ \sin(x) = \sin\left(2\frac{x}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right).}\)

[camillus25]

janusz47, Dziękuję Ci bardzo