Równanie liczby zepolone

[aneta909811]

\(\displaystyle{ z^4 \overline {z}=81|z|}\)

Jak to w miarę szybko rozwiązać?

[MrCommando]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ z \overline{z}=|z|^2}\). Dalej postać trygonometryczna i wzór de Moivre'a.

[aneta909811]

No to dostaje \(\displaystyle{ z^3|z|=81}\)
I jak dalej?

[MrCommando]

Zamień \(\displaystyle{ z}\) na postać trygonometryczną, skorzystaj ze wzoru de Moivre'a i skorzystaj z faktu, że dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły, a ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi.}\)

[a4karo]

No to dostaje \(\displaystyle{ z^3|z|=81}\)
I jak dalej?

Potrafisz stąd wyliczyć \(\displaystyle{ |z|}\) ?

[janusz47]

\(\displaystyle{ r^{4}e^{i 4\phi} \cdot re^{-i\phi} = 81 r, \ \ r\geq 0}\)

\(\displaystyle{ r^4e^{i 3\phi +2k\pi } = 3^4e^{i0}}\)

\(\displaystyle{ r e^{i \frac{3}{4}\phi +\frac{k\pi}{2}} = 3e^{i0}}\)

\(\displaystyle{ r = 3, \ \ \phi = \frac{3}{4}\phi + \frac{k\pi}{2}= 0, \ \ k\in \ZZ}\)

\(\displaystyle{ r= 3, \ \ \phi \in \left\{ 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi \right\}.}\)

Tylko liczby: \(\displaystyle{ z_{0} = 0, \ \ z_{1} = 3(\cos(0) +i\sin(0) ) = 3}\) spełniają to równanie.

[Psiaczek]

Tylko liczby: \(\displaystyle{ z_{0} = 0, \ \ z_{1} = 3(\cos(0) +i\sin(0) ) = 3}\) spełniają to równanie.

a mi się wydaje że to równanie sprowadza się do alternatywy

\(\displaystyle{ z=0 \vee z^3=27}\) czyli będą więcej niż dwa rozwiązania

[janusz47]

Dla argumentów: \(\displaystyle{ \phi = \frac{2}{3}\pi, \ \ \phi = \frac{4}{3}\pi}\) - proszę w takim razie o sprawdzenie.

[a4karo]

\(\displaystyle{ r^{4}e^{i 4\phi} \cdot re^{-i\phi} = 81 r, \ \ r\geq 0}\)

\(\displaystyle{ r^4e^{i 3\phi +2k\pi } = 3^4e^{i0}}\)

\(\displaystyle{ r e^{i \frac{3}{4}\phi +\frac{k\pi}{2}} = 3e^{i0}}\)

\(\displaystyle{ r = 3, \ \ \phi = \frac{3}{4}\phi + \frac{k\pi}{2}= 0, \ \ k\in \ZZ}\)

\(\displaystyle{ r= 3, \ \ \phi \in \left\{ 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi \right\}.}\)

Tylko liczby: \(\displaystyle{ z_{0} = 0, \ \ z_{1} = 3(\cos(0) +i\sin(0) ) = 3}\) spełniają to równanie.

W powyższych obliczeniach brak (oprócz jakichkolwiek objaśnień) paru nawiasów, a konkluzja nie jest prawdziwa.

Rozwiązaniami są liczby \(\displaystyle{ 0, 3, 3\varepsilon, 3\varepsilon^2}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\) jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z jedynki.