Równanie liczby zepolone
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Równanie liczby zepolone
\(\displaystyle{ z^4 \overline {z}=81|z|}\)
Jak to w miarę szybko rozwiązać?
Jak to w miarę szybko rozwiązać?
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Równanie liczby zepolone
Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ z \overline{z}=|z|^2}\). Dalej postać trygonometryczna i wzór de Moivre'a.
Ostatnio zmieniony 25 lis 2018, o 17:18 przez MrCommando, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Równanie liczby zepolone
Zamień \(\displaystyle{ z}\) na postać trygonometryczną, skorzystaj ze wzoru de Moivre'a i skorzystaj z faktu, że dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe moduły, a ich argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie liczby zepolone
Potrafisz stąd wyliczyć \(\displaystyle{ |z|}\) ?aneta909811 pisze:No to dostaje \(\displaystyle{ z^3|z|=81}\)
I jak dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Równanie liczby zepolone
\(\displaystyle{ r^{4}e^{i 4\phi} \cdot re^{-i\phi} = 81 r, \ \ r\geq 0}\)
\(\displaystyle{ r^4e^{i 3\phi +2k\pi } = 3^4e^{i0}}\)
\(\displaystyle{ r e^{i \frac{3}{4}\phi +\frac{k\pi}{2}} = 3e^{i0}}\)
\(\displaystyle{ r = 3, \ \ \phi = \frac{3}{4}\phi + \frac{k\pi}{2}= 0, \ \ k\in \ZZ}\)
\(\displaystyle{ r= 3, \ \ \phi \in \left\{ 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi \right\}.}\)
Tylko liczby: \(\displaystyle{ z_{0} = 0, \ \ z_{1} = 3(\cos(0) +i\sin(0) ) = 3}\) spełniają to równanie.
\(\displaystyle{ r^4e^{i 3\phi +2k\pi } = 3^4e^{i0}}\)
\(\displaystyle{ r e^{i \frac{3}{4}\phi +\frac{k\pi}{2}} = 3e^{i0}}\)
\(\displaystyle{ r = 3, \ \ \phi = \frac{3}{4}\phi + \frac{k\pi}{2}= 0, \ \ k\in \ZZ}\)
\(\displaystyle{ r= 3, \ \ \phi \in \left\{ 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi \right\}.}\)
Tylko liczby: \(\displaystyle{ z_{0} = 0, \ \ z_{1} = 3(\cos(0) +i\sin(0) ) = 3}\) spełniają to równanie.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Równanie liczby zepolone
a mi się wydaje że to równanie sprowadza się do alternatywyjanusz47 pisze: Tylko liczby: \(\displaystyle{ z_{0} = 0, \ \ z_{1} = 3(\cos(0) +i\sin(0) ) = 3}\) spełniają to równanie.
\(\displaystyle{ z=0 \vee z^3=27}\) czyli będą więcej niż dwa rozwiązania
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Równanie liczby zepolone
W powyższych obliczeniach brak (oprócz jakichkolwiek objaśnień) paru nawiasów, a konkluzja nie jest prawdziwa.janusz47 pisze:\(\displaystyle{ r^{4}e^{i 4\phi} \cdot re^{-i\phi} = 81 r, \ \ r\geq 0}\)
\(\displaystyle{ r^4e^{i 3\phi +2k\pi } = 3^4e^{i0}}\)
\(\displaystyle{ r e^{i \frac{3}{4}\phi +\frac{k\pi}{2}} = 3e^{i0}}\)
\(\displaystyle{ r = 3, \ \ \phi = \frac{3}{4}\phi + \frac{k\pi}{2}= 0, \ \ k\in \ZZ}\)
\(\displaystyle{ r= 3, \ \ \phi \in \left\{ 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi \right\}.}\)
Tylko liczby: \(\displaystyle{ z_{0} = 0, \ \ z_{1} = 3(\cos(0) +i\sin(0) ) = 3}\) spełniają to równanie.
Rozwiązaniami są liczby \(\displaystyle{ 0, 3, 3\varepsilon, 3\varepsilon^2}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\) jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z jedynki.