Wykazać implikacje trygonometryczną

[Unforg1ven]

Chce wykazać implikację:
Jeżeli \(\displaystyle{ \tg x = i \frac{1-z} {z+1} \Rightarrow \tg nx = i \frac{1-z^{n}} {1+z^{n}}}\)
dla \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C} ;z \neq 1 \neq z^{n}; x \in \mathbb{R}}\)
Próbowałem to jakoś zaatakować z postaci wykładniczej zespolonej \(\displaystyle{ \tg}\), jednak to ślepy załupek.

[a4karo]

INdukcją

[Premislav]

\(\displaystyle{ \tg (nx)=\frac{\sin(nx)}{\cos(nx)}=\frac{\mathrm{Im}\left( e^{inx}\right)}{\mathrm{Re}\left( e^{inx}\right) }
=\\= \frac{\mathrm{Im}\left( \left( \cos x+i\sin x\right)^n \right) }{\mathrm{Re}\left( \left( \cos x+i\sin x\right)^n \right) }}\)
i to powinno umożliwić napisanie jakiegoś prostego dowodu indukcyjnego.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \tg(n+1)x=\frac{\tg nx+\tg x}{1-\tg nx\tg x}=...}\)

[Unforg1ven]

Nie rozumiem, powiązania tych równości których napisaliście a tezą zadania.
Probowałem przekształcać ze wzoru Moivre'a, to

\(\displaystyle{ = \frac{\mathrm{Im}\left( \left( \cos x+i\sin x\right)^n \right) }{\mathrm{Re}\left( \left( \cos x+i\sin x\right)^n \right) }}\)

i dostaje

\(\displaystyle{ \tg(n+1)x=\frac{\tg nx+\tg x}{1-\tg nx\tg x}=...}\)

[Premislav]

To bardzo dobrze. Używałeś kiedyś indukcji matematycznej? Wydaje mi się, że nawet w tym dziale.
Wiesz, że \(\displaystyle{ \tg x = i \frac{1-z} {z+1}}\) (przy założeniach jak w Twoim pierwszym poście), a chcesz udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN^+}\) jest \(\displaystyle{ \tg nx = i \frac{1-z^{n}} {1+z^{n}}}\).
Ten wzorek pomaga w kroku indukcyjnym.