Magiczna równość zespolona

[ksawoj]

Witam. Od paru dni nie możesz ze znajomymi dojść do tego, co się dzieje z taką równością zespoloną:
\(\displaystyle{ (z + \overline{z}) + i(z - \overline{z}) = 5 + 3i}\).

Próbowaliśmy na różne sposoby do tego podchodzić i za każdym razem części urojone po lewej się zerują, przez co wychodzi 0=3. Proszę o wskazówkę, jak do tego podejść aby nie wyszła taka dziwna nieprawdziwa równość, bądź jeśli tak ma wyjść to co dalej z tym zrobić, aby obliczyć wyniki?

[Premislav]

\(\displaystyle{ z+\overline z=2\mathrm{Re}(z)\\ z-\overline z=2i\cdot\mathrm{Im}(z)}\)
Dalej po prostu przyrównujesz część rzeczywistą i urojoną obu stron.

[ksawoj]

Niezbyt rozumiem. \(\displaystyle{ z+\overline z= 2x}\), to jest jasne, ale potem z \(\displaystyle{ z-\overline z}\) wychodzi \(\displaystyle{ i(2yi)=2yi^{2}=-2y}\)

[Premislav]

Ale jeśli \(\displaystyle{ z=x+iy, \ x,y\in \RR}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{Im}(z)=y}\), nie zaś \(\displaystyle{ \mathrm{Im}(z)=iy}\). Wiesz w ogóle, co to jest część rzeczywista i urojona? Od tego należałoby zacząć.
Proponuję:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikibooks.org/wiki/Liczby_zespolone

albo dowolny podręcznik/skrypt do algebry liniowej, o liczbach zespolonych też coś powinno być.

[Psiaczek]

jemu chodzi prawdopodobnie o to , że już po przekształceniach dostaje warunek \(\displaystyle{ 2x-2y=5+3i}\)
a z niego układ
\(\displaystyle{ 2x-2y=5, 0=3}\) który jest sprzeczny

[ksawoj]

Ale jeśli \(\displaystyle{ z=x+iy, \ x,y\in \RR}\), to \(\displaystyle{ \mathrm{Im}(z)=y}\), nie zaś \(\displaystyle{ \mathrm{Im}(z)=iy}\). Wiesz w ogóle, co to jest część rzeczywista i urojona? Od tego należałoby zacząć.
Proponuję:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikibooks.org/wiki/Liczby_zespolone

albo dowolny podręcznik/skrypt do algebry liniowej, o liczbach zespolonych też coś powinno być.

No dobrze, w takim razie inaczej, skąd w poprzednim poście wyszło Ci \(\displaystyle{ z-\overline z=2i\cdot\mathrm{Im}(z)}\) gdy mi wychodzi zawsze \(\displaystyle{ z-\overline z=(x+yi-(x-yi))=2yi}\), co po pomnożeniu przez i daje samo -2y, brak części urojonej.

jemu chodzi prawdopodobnie o to , że już po przekształceniach dostaje warunek \(\displaystyle{ 2x-2y=5+3i}\)
a z niego układ
\(\displaystyle{ 2x-2y=5, 0=3}\) który jest sprzeczny

Tak, dokładnie o to chodzi.

[a4karo]

To może tak
\(\displaystyle{ \overline{(z + \overline{z}) + i(z - \overline{z}) }=\overline{z + \overline{z}}- i\overline{(z - \overline{z}) }=(z + \overline{z}) + i(z - \overline{z})}\), czyli lewa strona jest rzeczywista