obliczenia w liczbach zespolonych

[kmarciniak1]

Załóżmy że \(\displaystyle{ z}\) jest taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ z+ \frac{1}{z}=2\cos \frac{ \pi }{100}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ z ^{100}+ \frac{1}{z ^{100} }}\)
Rozwiązałem to równanie i mi wyszło :
\(\displaystyle{ z _{1}=\cos \frac{ \pi }{100}- \sqrt{\cos ^{2} \frac{ \pi }{100}-1 }}\)
\(\displaystyle{ z _{2}=\cos \frac{ \pi }{100}+\sqrt{\cos ^{2} \frac{ \pi }{100}-1 }}\)
I nie wiem co dalej...

[Premislav]

Udowodnijmy, że \(\displaystyle{ z=e^{i\frac{\pi}{100}}\vee z=e^{-i\frac{\pi}{100}}}\), dalej łatwo.

A można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \frac{z+\frac 1 z}{2}=\cos \frac{\pi}{100}\\ \left( \frac{z+\frac 1 z}{2}\right)^2=\cos^2\left( \frac{\pi}{100}\right)\\ \left( \frac{z+\frac 1 z}{2}\right)^2=1-\sin^2\left( \frac{\pi}{100}\right)\\ \sin^2\left( \frac{\pi}{100}\right) =1-\left( \frac{z+\frac 1 z}{2}\right)^2\\ \sin^2\left( \frac{\pi}{100}\right)=-\left( \frac{z-\frac 1 z}{2}\right)^2\\\sin\left( \frac{\pi}{100}\right)= i\cdot \frac{z-\frac 1 z}{2} \vee \sin\left( \frac{\pi}{100}\right)=-i\cdot \frac{z-\frac 1 z}{2}}\)
Teraz proste przekształcenia algebraiczne typu \(\displaystyle{ \frac{1}{i}=-i}\), no i zauważmy, że
\(\displaystyle{ z=\frac{z+\frac 1 z}{2}+\frac{z-\frac 1 z}{2}}\), potem wzór Eulera i koniec.

[Psiaczek]

a to co przedmówca mówi na samym początku wynika stąd:

\(\displaystyle{ e^{i \alpha }+e^{-i \alpha }=2 \cos \alpha}\)

[kmarciniak1]

Dziękuję Wam bardzo
Czyli wynik to \(\displaystyle{ -2}\)?

I jeszcze jedno pytanie. Jak pierwiastkujesz równanie to dlaczego możemy opuścić moduł nad \(\displaystyle{ z- \frac{1}{z}}\) (może to oczywiste ale ja nie wiem)

[Premislav]

Zgadza się, wynik to \(\displaystyle{ -2}\).
Jaki moduł? Pierwiastkowanie odbywa się w liczbach zespolonych, tam nie działają rzeczy typu \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\). Ogólnie dla danej liczby zespolonej \(\displaystyle{ w}\) różnej od zera i liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n\ge 2}\) jest:
\(\displaystyle{ z^n=w^n \Leftrightarrow z=w\cdot \left( \cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\right), \ k\in\left\{ 0,1,\ldots n-1\right\}}\)

[Unforg1ven]

435815.htm
Można tak uogólnić ten problem jak w linku co daje automatycznie wynik.