Znajdź wszystkie homografie \(\displaystyle{ h}\) takie, że \(\displaystyle{ h(1)=1,h(3)=3,h(h(z))=z}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\).
No to robię tak homografię mogę z dokładnością do przeskalowania zapisać tak: \(\displaystyle{ h(z)= \frac{az+b}{cz+1}}\) i zachodzą związki \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+1}=1, \frac{3a+b}{3c+1}=3,h(h(z))=z}\), z tych pierwszych dwóch równań dostaję zależności: \(\displaystyle{ a=a,b= \frac{3-3a}{4},c= \frac{a-1}{4}}\), a z trzeciej dostaję po przekształceniach:
\(\displaystyle{ c(a+1)z^2+(a+1)(1-a)z+b(a+1)=0}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ a \neq -1}\) to
\(\displaystyle{ cz^2+(1-a)z+b=0}\) i ta równość ma zachodzić dla każdego \(\displaystyle{ z}\) dlatego chyba można powiedzieć, że jest ona spełniona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie współczynniki są zerami. Czyli
\(\displaystyle{ c=0,a=1,b=0}\) czyli jedna homografia ma postać: \(\displaystyle{ h(z)=z}\), a druga gdy \(\displaystyle{ a=-1}\), wówczas: \(\displaystyle{ b=3/2,c=-1/2}\) i \(\displaystyle{ h(z)= \frac{2z-3}{z-2}}\), czyli z tego wynika, że istnieją tylko dwie homografie spełniające podane warunki tak?