Równanie zmiennej zespolonej

[Patrico97]

Witam, mam problem z takim równaniem:

\(\displaystyle{ \left( 3+i\right)z^{2} +\left( 1-i\right)z -6i = 0}\)

Jest ktoś w stanie nakierować mnie jak to zrobić? Liczę deltę, pierwiastkiem z delty jest liczba zespolona, tworze równanie, przyrównuje postać zespoloną z lewej do tej z prawej, rzeczywistą tak samo, następnie wyliczam jedną niewiadomą, podstawiam do drugiego równania, wychodzi równanie z potęgą 4 i 2 stopnia, tworzę parametr t zamiast y kwadrat, liczę deltę dla t... no i tutaj mam problem bo jakieś dziwne liczby mi wychodzą, 37 do kwadratu jako współczynnik "c" to chyba coś nie tak Próbowałem... ehh.

[Benny01]

\(\displaystyle{ (1-i)^2+24i(3+i)=-2i+72i-24=70i-24 \\
70i-24=a^2-b^2+2abi \\
ab=35 \\
a^2-b^2=-24}\)
Łatwo zgadnąć, że \(\displaystyle{ a=5 , b=7}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ (3+i)z^2 +(1-i)z -6i = 0}\)

Sprowadzamy równanie kwadratowe do postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ (3+i)\left[ z^2 +\frac{1-i}{3+i}z -\frac{6i}{3+i}\right]= 0}\)

\(\displaystyle{ (3+i) \left[ z^2+\frac{(1-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}z - \frac{6i(3-i)}{(3+i)(3-i)}\right]=0}\)

\(\displaystyle{ (3+i)\left[ z^2 + \frac{1-2i}{5}z - \frac{9i +3}{5}\right] = 0}\)

\(\displaystyle{ (3+i) \left[ \left(z + \frac{1-2i}{10}\right)^2- \left( \frac{(1-2i)^2}{100}+\frac{9i+3}{5}\right)\right] = 0}\)

\(\displaystyle{ (3+i) \left[\left(z + \frac{1-2i}{10}\right)^2 - \frac{57 +176i}{100} \right] =0}\)

\(\displaystyle{ (3+i) \left[\left(z + \frac{1-2i}{10}\right)^2 - \left(\frac{11 +8i}{10}\right)^2 \right] =0}\)

Ze wzoru na różnicę kwadratów:

\(\displaystyle{ (3+i)\left( z + \frac{1-2i}{10} - \frac{11+8i}{10}\right)\left(z + \frac{1-2i}{10} + \frac{11+8i}{10}\right)=0}\)

\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{10+10i}{10}= 1 +i, \ \ z_{2} = \frac{-12 -6i}{10}= -\frac{6}{5}-\frac{3}{5}i.}\)

\(\displaystyle{ z_{1} = 1+i, \ \ z_{2} = -\frac{6}{5}-\frac{3}{5}i.}\)

[Patrico97]

Dzięki, okazało się że robiłem błąd przy obliczaniu delty, teraz udało mi się poprawnie wyliczyć sposobem z parametrem t. Dzięki janusz47, za pokazanie jak liczyć po przez postać kanoniczną, nie stosowałem tego wcześniej. Benny01, tu chyba nie chodzi o zgadywanie, ale dzięki za pomoc bo dzięki Tobie zauważyłem gdzie mam błąd, przy równaniu ab = 35 ja miałem ab = 37, dlatego dalej mi nie wychodziło. Pozdrawiam.

[a4karo]

Umówmy się - sposób janusz57 jest niczym innym, jak rozwiązaniem równania kwadratowego "na palcach"
W swoim wyjaśnieniu sprytnie pominął istotną trudność, jaką jest wyciagnięcie pierwiastka kwadratowego z \(\displaystyle{ 57+176i}\)

[Premislav]

Przecież \(\displaystyle{ 57+176i=(11+8i)^2}\),
przeciętnie bystra osoba widzi to w \(\displaystyle{ 10}\) sekund.

[janusz47]

I dodatkowo musi znać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwumianu.

[Patrico97]

Premislav, To jestem poniżej przeciętnej, kurde No nic, trzeba ćwiczyć i dużo liczyć...
Skorzystam z okazji, jak znaleźć pozostałe 2 rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^{3} = 8}\), bo 2 jest oczywista ale nie mam pomysłu na pozostałe 2 rozwiązania

[Premislav]

Ojej, przepraszam, nie chodziło o zdołowanie Cię, tylko o podważenie stwierdzenia a4karo, że wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z \(\displaystyle{ 57+176i}\) stanowi „istotną trudność". No ale w sumie to stwierdzenie jest czysto subiektywne, więc lepiej byłoby, gdybym je po prostu zignorował.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Popatrzmy na to ogólniej:
\(\displaystyle{ w}\) jest jakąś konkretną, daną liczbą zespoloną różną od zera i mamy rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ z^n=w^n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną większą niż \(\displaystyle{ 1}\).
Oczywiście jedno z rozwiązań to \(\displaystyle{ z_0=w}\), co po prostu „widać". Ale w dziedzinie zespolonej to równanie ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) rozwiązań. Jak uzyskać pozostałych \(\displaystyle{ n-1}\)?
Są one postaci \(\displaystyle{ w\cdot \epsilon_k, \ k=1\ldots n-1}\),
gdzie \(\displaystyle{ \epsilon_k=\cos\left( \frac{2k\pi}{n}\right) +i\sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right)}\), tj. \(\displaystyle{ \epsilon_k}\) to różne od \(\displaystyle{ 1}\) pierwiastki zespolone n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\).
U Ciebie \(\displaystyle{ n=3, \ w=2}\) i wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^3=2^3}\) w liczbach zespolonych to:
\(\displaystyle{ 2, \ 2\cdot\left( \cos \frac{2\pi}{3}+i\sin \frac{2\pi}{3}\right), \ 2\cdot \left( \cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}\right)}\)

[Patrico97]

W porządku Rozpisałem to i coś tam wychodzi, widzę że czasem nawet z pozoru proste zadanie warto sobie rozpisać, dzięki za wyjaśnienie!