Na płaszczyznie zespolonej

[foe]

\(\displaystyle{ \frac{z-i}{ z+i}=i}\)

Jak mam to rozwiązać?


Podstawiam za\(\displaystyle{ z: x+yi}\) ale nie wiem jak i co dalej?

[kerajs]

\(\displaystyle{ z-i=iz-1\\
z(1-i)=-1+i\\
z= \frac{-1+i}{1-i}\\
z= \frac{(-1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \\
z=...}\)

[janusz47]

I dalej rozwiązujemy równanie wymierne ze względu na \(\displaystyle{ x, y.}\)

Potem podstawiamy \(\displaystyle{ x ,y}\) do \(\displaystyle{ z = x + iy.}\)

[foe]

doszedłem do:

\(\displaystyle{ -y=(-1-x)i}\)

Czyli teraz pomijam część urojoną?
\(\displaystyle{ y=1+x}\)?

[a4karo]

PO co tak kombinujesz. Przecież kerajs napisał ci rozwiązanie

[janusz47]

\(\displaystyle{ z \neq -i}\)

\(\displaystyle{ \frac{x+iy - i}{x+iy +i}= i}\)

\(\displaystyle{ x+iy -i = ix + i^2y +i^2}\)

\(\displaystyle{ x +iy -i - ix -i^2y -i^2 =0}\)

\(\displaystyle{ x + y +1 +iy -ix -i =0}\)

\(\displaystyle{ x+y +1 + i(-x +y-1) =0}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases}{x+y +1 =0 \\ -x +y -1 =0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y = 0,\ \ x =-1}\)

\(\displaystyle{ z = -1 +0y = -1}\)

\(\displaystyle{ z =-1.}\)


Z rozwiązania kerajsa

\(\displaystyle{ z-i=iz-1\\ z(1-i)=-1+i\\ z= \frac{-1+i}{1-i}= -\frac{1-i}{1-i}= -1.}\)

\(\displaystyle{ z =-1.}\)