Trójkąt w płaszczyźnie zespolonej

[Mathhh]

Punkty \(\displaystyle{ z_1}\), \(\displaystyle{ z_2}\) i \(\displaystyle{ z_3}\) płaszczyzny zespolonej są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz położenie punktu przecięcia środkowych tego trójkąta.
Wskazówka: Wykorzystać fakt, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
Próbuję to rozwiązać w ten sposób, że rysuję przykładowe punkty i z punktu \(\displaystyle{ z_3}\) rysuję środkową która będzie przecinać bok w punkcie \(\displaystyle{ \frac{z_1+z_2}{2}}\).
Czyli środkowa to będzie wektor \(\displaystyle{ \frac{z_1+z_2}{2} + z_3}\). To korzystam z dodawania wektorów metodą równoległoboku. Potem mnoże ten wektor przez \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) co w ostateczności daję \(\displaystyle{ \frac{1}{3z_1} + \frac{1}{3z_2} + \frac{2}{3z_3}}\)
\(\displaystyle{ z_4}\) (środek ciężkości) \(\displaystyle{ + z_3 = \frac{1}{3z_1} + \frac{1}{3z_2} + \frac{2}{3z_3}}\).
Ale nie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{3z_1} + \frac{1}{3z_2} + \frac{1}{3z_3}}\) . Nie wiem gdzie popełniam błąd.

[Dasio11]

Czyli środkowa to będzie wektor \(\displaystyle{ \frac{z_1+z_2}{2} + z_3}\).

Tu jest błąd, bo środkowa to wektor \(\displaystyle{ \frac{z_1+z_2}{2} - z_3}\). Ogólnie wektor od punktu \(\displaystyle{ a}\) do punktu \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ b-a}\).

Potem mnoże ten wektor przez \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) co w ostateczności daję \(\displaystyle{ \frac{1}{3z_1} + \frac{1}{3z_2} + \frac{2}{3z_3}}\)

I drugi: nie ma powodu, żeby \(\displaystyle{ z_1, z_2}\) i \(\displaystyle{ z_3}\) schodziły do mianowników.

[Mathhh]

Dlaczego tak jest, że wektor z punktu \(\displaystyle{ a}\) do punktu \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ b - a}\) ?
Jest tak tylko w liczbach zespolonych czy ogólnie w wektorach ?

[Dasio11]

Ogólnie. Wektor od punktu \(\displaystyle{ a}\) do punktu \(\displaystyle{ b}\) to taki wektor \(\displaystyle{ c}\), że jak zaczepimy go w punkcie \(\displaystyle{ a}\), to będzie wskazywać na \(\displaystyle{ b}\), czyli taki, że \(\displaystyle{ a+c = b}\). To daje \(\displaystyle{ c = b - a}\).

[Mathhh]

Dlaczego akurat \(\displaystyle{ a + c = b}\) a nie \(\displaystyle{ b + c = a}\) ?
I dlaczego dodajemy punkty do wektorów?-- 21 lis 2018, o 00:02 --\(\displaystyle{ z4 + z3 = \frac{1}{3z_1} + \frac{1}{3z_2} - \frac{2}{3z_3}}\)
Nadal wychodzi mi nieprawidłowy wynik