Suma trygonometryczna razy wyraz wykładniczy

[Unforg1ven]

Mam taką sumę do policzenia.
\(\displaystyle{ S=\sum_{k=1}^{n} 2^{k}\cos(kx)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)
,przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\).
Zauważam:
\(\displaystyle{ \cos(kx)=\Re({e^{ikx}})}\).
Zauważamy, że jest to ciąg geometryczny.
\(\displaystyle{ q= \Re \frac{2^{k+1}e^{k+1ix}}{2^{k}e^{kix}}= \Re 2e^{ix}}\)
zatem, ze wzoru sumę ciągu geometrycznego.
\(\displaystyle{ S=\Re \left( \frac{2^{n} e^{ix}-1}{2e^{ix}-1} \cdot 2e^{ix}\right)}\)
Dochodzę do tego miejsca i nie wiem jak to dalej uprościć.

[Dasio11]

zatem, ze wzoru sumę ciągu geometrycznego.
\(\displaystyle{ S=\Re \left( \frac{2^{n} e^{ix}-1}{2e^{ix}-1} \cdot 2e^{ix}\right)}\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ S = \Re \left( \frac{2^n e^{i \textcolor{red}{n} x} - 1}{2 e^{ix} - 1} \cdot 2 e^{ix} \right).}\)

A dalej standardowo - pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika i uprość. Zapewne wiesz, że \(\displaystyle{ \overline{e^{ix}} = e^{-ix}}\).

[Unforg1ven]

Liczę
\(\displaystyle{ \Re \frac{(2^{n}e^{inx}-1)(2e^{-ix}-1)} {(2e^{ix}-1)(2e^{-ix}-1)}=}\)
i po mozolnych przekształceniach wychodzi mi
\(\displaystyle{ \Re \frac {2^n(2e^{inx}-e^{i(n+1)x} ) -2e^{2ix}+e^{ix} }{3+2(e^{ix}+e^{-ix})}}\)
Pytanie teraz czy mam skorzystać z \(\displaystyle{ \Re \sum{z}=\sum \Re{z}}\)
Zauważając, że jak podzielę przez \(\displaystyle{ 2}\) licznik i mianownik to w mianowniku otrzymam cosinus.
Czy jest można to jakoś prościej zrobić, oraz czy w ogólności dobrze myślę.

[Dasio11]

i po mozolnych przekształceniach wychodzi mi
\(\displaystyle{ \Re \frac {2^n(2e^{inx}-e^{i(n+1)x} ) -2e^{2ix}+e^{ix} }{3+2(e^{ix}+e^{-ix})}}\)

Niepoprawnie.

[Unforg1ven]

Po dwóch próbach liczenia za każdym razie zakopuję się w obliczeniach i nie wiem jak to dalej pociągnąć.
Czy ktoś mógłby pokazać jak to dalej należy zrobić?