Zaznacz na płaszczyźnie zbiór liczb zespolonych

[Zacny_Los]

Zaznacz na płaszczyźnie zbiór liczb zespolonych spełniających oba podane warunki:
\(\displaystyle{ 0 < \arg z^{4} < \pi, |z+1-i| \ge |z-1+i|}\)

W drugim przypadku rysuję prostą symetralną odcinka wyznaczonego przez punkty \(\displaystyle{ \left( -1+i \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( 1-i \right)}\) i zaznaczam obszar bliżej \(\displaystyle{ \left( 1-i \right)}\).
A w pierwszym przypadku?
Policzyłem:
\(\displaystyle{ z^{4} = 1 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \\
z = 1 \left( \cos \frac{\pi +2k \pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k \pi }{4} \right)}\)
i \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3 \right\}}\)
I właściwie co teraz? Pierwszy przypadek to zbiór punktów?

[Jan Kraszewski]

Pierwszy przypadek to zbiór punktów?

Oczywiście. Pomyśl o tym tak: argument liczby \(\displaystyle{ z^4}\) jest czterokrotnością argumentu liczby \(\displaystyle{ z}\) modulo \(\displaystyle{ 2\pi}\). Szukasz więc takich kątów \(\displaystyle{ alphain[0,2pi)}\), że \(\displaystyle{ 2m\pi<4\alpha<2m\pi+\pi}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ m}\).

JK

[Zacny_Los]

No tak, w przypadku potęgowania wystarczy po prostu pomnożyć argument razy n-tą potęgę i nie trzeba rozpisywać na cosinusy i sinusy...?
Czyli mam:

\(\displaystyle{ 0 < 4 \arg z + 2k \pi < \pi}\)
\(\displaystyle{ 0- \frac{2k \pi}{4} < \arg z < \frac{\pi}{4} - \frac{2k \pi}{4}}\)
Dla:
\(\displaystyle{ k =0 \Rightarrow 0<\arg z < \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ k = 1 \Rightarrow - \frac{\pi}{2} < \arg z < - \frac{\pi}{4}}\)
Nie mogę zastosować ujemnych k?

A ponieważ
\(\displaystyle{ 1-i}\) tworzy kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), to pokrywa się z wartością argumentu dla k = 0.

Czy dobrze zaznaczyłem? Co będzie z k=1, jest też dobrze?

(Na niebiesko ostatecznie dobre obszary, na brązowo obszar, który wynikł z dwóch punktów.

[Jan Kraszewski]

Czyli mam:

\(\displaystyle{ 0 < 4 \arg z + 2k \pi < \pi}\)
(...)
Nie mogę zastosować ujemnych k?

U mnie ten warunek wyglądał nieco inaczej i dlatego ja używałem nieujemnych \(\displaystyle{ k}\). Ty jak najbardziej możesz zastosować ujemne.

Czy dobrze zaznaczyłem?

Za mało. To będą cztery takie obszary.

JK

[Zacny_Los]

Ok, rozumiem. Czwarta potęga, więc cztery takie obszary.
Dochodzą jeszcze:
\(\displaystyle{ k=-1 \Rightarrow \frac{\pi}{2} < arg z < \frac{3}{4} \pi}\)
\(\displaystyle{ k = -2 \Rightarrow \pi < arg z < \frac{5}{4} \pi}\)
Ale nie mieszczą się w drugim warunku z modułami, więc w ostatecznej odpowiedzi ich nie ujmujemy.

Dziękuję za pomoc!-- 20 lis 2018, o 18:06 --Mam jeszcze jedno szybkie pytanie, czy kiedy mam
\(\displaystyle{ |z+i|>|1-i \sqrt{3} |}\)
to wtedy będzie to okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3}}\)?

[Jan Kraszewski]

Mam jeszcze jedno szybkie pytanie, czy kiedy mam
\(\displaystyle{ |z+i|>|1-i \sqrt{3} |}\)
to wtedy będzie to okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3}}\)?

Nie. Po pierwsze, okrąg nie może mieć promienia zespolonego. Po drugie, skoro jest nierówność, to na pewno nie będzie to okrąg.

To będzie zewnętrze koła o środku... i promieniu...

JK

[Zacny_Los]

To będzie zewnętrze koła o środku w \(\displaystyle{ -i}\), czyli \(\displaystyle{ (0, -1)}\) i promieniu równym \(\displaystyle{ 2}\)?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK