Znajdź wszystkie rozwiązania równania

[Elaf]

Część, mam takie równanie \(\displaystyle{ z^{6} =(2 \cdot e ^{ \frac{ \pi \cdot i}{2} } + 1) ^{12}}\). Wyznaczyłem \(\displaystyle{ z = (1+2i)^{2} = -3+4i}\) ale nie wiem jak to wykorzystać i czy w ogóle jest potrzebne :/

[Kordyt]

1. Warto poprawić zapis, bo to jest trudnoczytelne.
2. Uprościć wyrażenie \(\displaystyle{ z^6}\)
3. Wyznaczyć argument tej liczby i moduł (widać je już z wyrażenia).
4. Jak pierwiastkujemy to jak zmienia się argument a jak moduł ?

[Elaf]

\(\displaystyle{ z ^{6} =(1+2i) ^{12}}\)

Moduł wyjdzie \(\displaystyle{ 5}\)

Argumenty dla z \(\displaystyle{ \cos = \frac{-3}{ 5}}\) i \(\displaystyle{ \sin = \frac{4}{ 5}}\) tylko że tego nie ma w tabelce

Ewentualnie może mogło by to być tak, dla \(\displaystyle{ z ^{6}}\)
\(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{ \sqrt{5}}}\) i \(\displaystyle{ \sin = \frac{2}{ \sqrt{5}}}\)

[Kordyt]

Można ten argument z twojej liczby zapisać w postaci \(\displaystyle{ \varphi=\arctan{\frac{-4}{3}}}\)
Mamy 6 rozwiązań, więc to będzie pierwsze, kolejne będą:

\(\displaystyle{ \varphi_k=\arctan{\frac{-4}{3}}+\frac{k\pi}{3}}\)

Z każdego takiego argumentu spokojnie można policzyć sin i cos korzystając napierw ze wzoru na sinus/kosinus sumy kątów, z policzeniem sin czy cos z arctan też nie jest problemem.