1. Na płaszczyźnie zespolonej wyznacz zbiór liczb, które spełniają warunek: \(\displaystyle{ \left\{ z \in ∈ C: 0 < arg \left( \frac{z+i}{z-i} \right) < \frac{ \pi }{4} \right\}}\)
Obliczyłem \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i} = \frac{ z^{2}+2zi-1 }{z^{2}+1}}\) oraz narysowałem:
AU
Bez-tytu-u.jpg (9.33 KiB) Przejrzano 93 razy
[/url]
No i wychodzi na to, że rozwiązanie jest w tym zakreślonym obszarze, ale jak mam wyznaczyć zbiór tych liczb, które spełniają to równanie?
2. Rozwiąż równanie w dziedzinie zespolonej: \(\displaystyle{ z^{3}+9z+6 = 0}\)
a tutaj próbowałem różnych sposobów, też podstawiania pod \(\displaystyle{ z = x+iy}\), ale jakoś nie wychodzi
Równanie to będzie spełnione, jeśli np. \(\displaystyle{ 3uv=-9}\) oraz \(\displaystyle{ u^3+v^3=-6.}\) Wyliczając \(\displaystyle{ v=-\frac{3}{u}}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ u^3-\frac{27}{u^3}=-6,}\)
co sprowadza się do równania trójkwadratowego \(\displaystyle{ u^6+6u^3-27=0.}\) Stąd \(\displaystyle{ u^3=-9}\) lub \(\displaystyle{ u^3=3.}\) Doliczamy \(\displaystyle{ v}\) i mamy rozwiązanie rzeczywiste. Teraz można skorzystać z twierdzenia Bezouta aby znaleźć dwa pozostałe rozwiązania.
Ale można też zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ \varepsilon_{1,2,3}}\) stanowią pierwiastki stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z jedynki, to jeśli \(\displaystyle{ u}\) spełnia równanie trójkwadratowe, to \(\displaystyle{ \varepsilon_iu}\) też je spełnia i w ten sposób łatwo dostajemy pozostałe dwa rozwiązania wyjściowego równania.
Ogólnie przedstawiona tu metoda służy do wyprowadzenia wzorów Cardano.
