W jaki sposób wykonać interpretację geometryczną?

[Zacny_Los]

\(\displaystyle{ \left| \frac{z-3}{z-3i} \right|>1 \\
\left| \frac{z+i}{z ^{2} -1} \right| \le 1 \\
\left| z+i \right| + \left| z-i\right| =2}\)

Wiem, że nie da się tego bezpośrednio rozwiązać wstawiając za \(\displaystyle{ z = x+yi}\), tylko trzeba w jakiś sposób rozumować. Tylko, że kompletnie tego nie "czuję". Mógłby ktoś napisać jak uczniakowi jak się rysuje takie równania?
Czy przyjmujemy za z początek układu współrzędnych?

[Premislav]

Wiem, że nie da się tego bezpośrednio rozwiązać wstawiając za \(\displaystyle{ z = x+yi}\), tylko trzeba w jakiś sposób rozumować.

To źle „wiesz".

Aczkolwiek owszem, można to zrobić (a przynajmniej pierwsze i trzecie zadanie, choć nie wykluczam, że drugie także) stosując interpretację geometryczną.
Przekształćmy pierwszą nierówność do postaci \(\displaystyle{ |z-3|>|z-3i|}\) (uwaga: \(\displaystyle{ z\neq 3i}\)).
To oznacza, że odległość \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ 3i}\) na płaszczyźnie Gaussa jest mniejsza niż odległość \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ 3}\). Czyli należy narysować symetralną odcinka łączącego \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 3i}\) na płaszczyźnie zespolonej i ta część leżąca po tej samej stronie symetralnej, co \(\displaystyle{ 3i}\), to zbiór rozwiązań nierówności – z wyłączeniem samego \(\displaystyle{ 3i}\), które nie należy do dziedziny wyjściowej nierówności.

Trzecie zadanie też ma ładną interpretację geometryczną, poczytaj o własnościach elipsy (choć tu akurat chyba można szybciej z nierówności trójkąta i rozważenia, co oznacza równość w tej nierówności).

A drugie zadanie to ja właśnie klepałbym tradycyjnie \(\displaystyle{ z=x+iy}\), ewentualnie postacią trygonometryczną czy wykładniczą, nie umiem tego sensownie zinterpretować geometrycznie.