Liczby zespolone a trójkąt

[jol2018]

Dobry wieczór,
chciałam rozwiązać te zadanie:
niech \(\displaystyle{ \left| z_1\right| =\left| z_2\right| = \left| z_3\right| = 1}\)
Pokaż, że liczby \(\displaystyle{ z_1 z_2 z_3}\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego wtw gdy \(\displaystyle{ z_1 + z_2 + z_3 = 0}\).

Implikację w prawą stronę potrafię zrobić. Jest ona dosyć oczywista, jednak nie mogłam za nic wpaść na rozwiązanie tego w lewą stronę. Wpadłam na wskazówkę, że należy rozważyć równanie:
\(\displaystyle{ (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) = 0}\)
Faktycznie, gdy takie równanie rozważę, to wszystko mi wyszło, jednak nie bardzo rozumiem skąd ono się wzięło, dlaczego akurat te, jak ono ma się do zadania, dlaczego akurat wzięliśmy wielomian o takich miejscach zerowych?

[a4karo]

Najprościej tak:
Jeżeli zety są wierzchołkami trójkąta równobocznego, to po obrocie o 120 stopni (czyli po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ \exp 2\pi i/3}\) )przejdą na siebie.
Zatem \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=\exp 2\pi i/3(z_1+z_2+z_3)}\) skąd teza.

Jeżeli \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=0}\), to możemy założyć, że \(\displaystyle{ z_3=1}\) (jak nie jest, to obrócimy cały ukłąd mnożąc przez \(\displaystyle{ \bar{z_3}}\))

Zatem \(\displaystyle{ 1+z_2+z_3=0}\). Wyprowadź stąd trzy wnioski
1. \(\displaystyle{ -1\leq \Re z_1, \Re z_2\leq 0}\)
2. \(\displaystyle{ \Im z_1=-\Im z_2}\)
3. \(\displaystyle{ \Re z_1=\Re z_2=-1/2}\)

[jol2018]

Najprościej tak:
Jeżeli zety są wierzchołkami trójkąta równobocznego, to po obrocie o 120 stopni (czyli po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ \exp 2\pi i/3}\) )przejdą na siebie.
Zatem \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=\exp 2\pi i/3(z_1+z_2+z_3)}\) skąd teza.

Jeżeli \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3=0}\), to możemy założyć, że \(\displaystyle{ z_3=1}\) (jak nie jest, to obrócimy cały ukłąd mnożąc przez \(\displaystyle{ \bar{z_3}}\))

Zatem \(\displaystyle{ 1+z_2+z_3=0}\). Wyprowadź stąd trzy wnioski
1. \(\displaystyle{ -1\leq \Re z_1, \Re z_2\leq 0}\)
2. \(\displaystyle{ \Im z_1=-\Im z_2}\)
3. \(\displaystyle{ \Re z_1=\Re z_2=-1/2}\)

Wydaje mi się, że zrozumiałam ten tok myślenia, swoją drogą ciekawe podejście z tym obracaniem, ale dalej nie bardzo wiem co z tym równaniem.

[a4karo]

Dostałaś dokładne wskazówki: pomyśl nad nimi sama

Powinno być \(\displaystyle{ 1+z_1+z_2=0}\)

[jol2018]

Proszę mi wybaczyć, ale dalej nie widzę tego

[a4karo]

Ale czego konkretnie nie widzisz?

[jol2018]

implikacji z Twoich wniosków do tamtego równania.

[a4karo]

A jakoś konkretniej nie potrafisz? Zacytuj fragment, którego nie rozumiesz.

[jol2018]

Ależ ja rozumiem te wnioski. Mam problem z połączeniem tego w tamto równanie. Każdy z nich jest w porządku ale nie widzę związku z tym o co pytałam.

[a4karo]

A gdzie na kole jednostkowym leżą te trzy liczby?

[jol2018]

\(\displaystyle{ z_1}\) na osi rzeczywistych w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1,0 \right)}\)
\(\displaystyle{ z_2\ \left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} ,\frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \\
z_3\ \left( -\frac{ \sqrt{2} }{2} ,-\frac{ \sqrt{2} }{2} \right)}\)
ale nie widzę związku dalej z tym równaniem. Proszę mi pomóc.

[a4karo]

1. \(\displaystyle{ -1\leq \Re z_1, \Re z_2\leq 0}\)
2. \(\displaystyle{ \Im z_1=-\Im z_2}\)
3. \(\displaystyle{ \Re z_1=\Re z_2=-1/2}\)

Naprawdę uważasz, że Twoje punkty spełniają te warunki (szczególnie trzeci)?

Te punkty mają współrzędne \(\displaystyle{ \left(-\frac12,\pm\frac{\sqrt3}{2}\right)}\). Teraz wymyśl sposób jak pokazać, że są one wierzchołkami trójkąta równobocznego.