Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby zespolonej

[Patrico97]

\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{ \left( 1+i \right) ^{3} }}\)

No więc tak, mają być 3 rozwiązania.
Najpierw obliczam potęgę z liczby pod pierwiastek, wyszło mi \(\displaystyle{ -2+2i}\).
Z tego wyliczam pierwiastek, pierwszy wynik otrzymałem \(\displaystyle{ 1+i}\)
Ale w drugim już jest problem bo zatrzymuję się na takiej postaci:
\(\displaystyle{ z \left( 1 \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{11}{12} \pi +i\sin \frac{11}{12} \pi \right)}\)

Czy robię coś nie tak? Czy pierwszy wynik jest ok?

PS. moduł wyszedł mi \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) czyli we wzorze na pierwiastek przed nawiasem mam \(\displaystyle{ \sqrt[n]{|z|} = \sqrt[3]{ 2\sqrt{2} } = \sqrt{2}}\)

Może tutaj jest błąd?

[Janusz Tracz]

Zadajesz sobie niepotrzebny trud, po co podnosić to do trzeciej potęgi skoro potem i tak trzeba pierwiastkować. Nie lepiej od razu zauważyć że jednym z rozwiązań jest po prostu

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ (1+i)^{3}}=1+i}\)

a dwa kolejne są równo rozłożone na okręgu więc trzeba tylko pomnożyć ten który już mamy przez \(\displaystyle{ \cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}}\) więc:

\(\displaystyle{ z_0=1+i}\)

\(\displaystyle{ z_1=\left( 1+i\right)\left( \cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}\right)}\)

\(\displaystyle{ z_2=\left( 1+i\right)\left( \cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}\right)^2}\)

[Patrico97]

Rzeczywiście, można i tak, początkowo zastanawiałem się jak bym tym sposobem znalazł 2 i 3 wynik...

A czy da się i jeśli się da to jak wyliczyć drugi i trzeci wynik korzystając ze standardowego wzoru

\(\displaystyle{ Z_k= \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \frac{ \beta +2k \pi }{n}+ i\sin \frac{ \beta +2k \pi }{n}\right)}\)

PS. Czy ten wzór co podałeś na 2 i 3 wynik to to samo co ten:

\(\displaystyle{ z_k=z(k-1)\left( \cos \frac{2 \pi }{n} + i\sin \frac{2 \pi }{n}\right)}\)

Skąd te \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) i dlaczego przy \(\displaystyle{ z_2}\) jest kwadrat na końcu??

PS2. Nwm jak się robi kąt fi więc dałem betę

[Jan Kraszewski]

PS2. Nwm jak się robi kąt fi więc dałem betę

\(\displaystyle{ \phi}\) phi lub \(\displaystyle{ \varphi}\) varphi

JK

[Janusz Tracz]

A czy da się i jeśli się da to jak wyliczyć drugi i trzeci wynik korzystając ze standardowego wzoru

\(\displaystyle{ Z_k= \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \frac{ \beta +2k \pi }{n}+ i\sin \frac{ \beta +2k \pi }{n}\right)}\)

Pewnie że się da ale to będzie dużo dłużej. Podejrzewam że autor specjalnie tak ułożył zadanie.

PS. Czy ten wzór co podałeś na 2 i 3 wynik to to samo co ten:

\(\displaystyle{ z_k=z_{k-1}\left( \cos \frac{2 \pi }{n} + i\sin \frac{2 \pi }{n}\right)}\)
Skąd te \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) i dlaczego przy \(\displaystyle{ z_2}\) jest kwadrat na końcu??

To wynika z geometrycznej interpretacji mnożenia liczb zespolonych. Gdy mnożysz dwie liczby zespolone to ich moduły się mnożą a kąty dodają. Dlatego jak znalazłem pierwszy pierwiastek \(\displaystyle{ 1+i}\) to wiedząc że pozostał dwa są rozmieszczone (równo co stały kąt) na okręgu postanowiłem przeskoczyć (to znaczy pomnożyć) właśnie o ten kąt do drugiego pierwiastka a potem do trzeciego. Mnożę przez \(\displaystyle{ \cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}}\) bo:

\(\displaystyle{ \bullet}\) jest to liczba zespolona o module \(\displaystyle{ 1}\) więc nie wyjdę poza ten okrąg (\(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| 1+i\right|}\)) jak że mnożenie przez jeden nie zmienia wyniku

\(\displaystyle{ \bullet}\) Jest to liczba o kącie \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\). Dlaczego akurat \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) ,a no dlatego że pierwiastki są \(\displaystyle{ 3}\) bo \(\displaystyle{ \sqrt[{\red{3}}]{}}\) no i są równomiernie rozłożone na okręgu czyli co \(\displaystyle{ \frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Kwadrat pojawi się dlatego bo żeby z \(\displaystyle{ z_0=1+i}\) "przeskoczyć" do trzeciego pierwiastka muszę wykonać dwa skoki o \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\), pamiętaj że skok o \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) odpowiada mnożeniu przez \(\displaystyle{ \cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}}\). Równie dobrze mogłem napisać od razu \(\displaystyle{ z_2=z_0\left( \cos 240^{\circ}+i\sin 240^{\circ}\right)}\) wyjdzie na to samo.

[Patrico97]

Czyli jak by były 4 pierwiastki to by był kąt 90 stopni zamiast 120 tak?

[a4karo]

PS2. Nwm jak się robi kąt fi więc dałem betę

\(\displaystyle{ \phi}\) phi lub \(\displaystyle{ \varphi}\) varphi

JK

On nw a Ty wsz

[Janusz Tracz]

Czyli jak by były \(\displaystyle{ 4}\) pierwiastki to by był kąt \(\displaystyle{ 90}\) stopni zamiast \(\displaystyle{ 120}\) tak?

Tak. Wtedy to już w ogóle łatwo bo mnożenie przez \(\displaystyle{ i}\) odpowiada obrotowi o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\)