Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki zespolone

[KibaJaksa]

Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki zespolone
\(\displaystyle{ \frac{ z^{2}+2z }{(z ^{2} + z + 2 ) ^{2} }}\)

Więc:

\(\displaystyle{ \frac{ z^{2}+2z }{(z ^{2} + z + 2 ) ^{2} } = \frac{Az+B}{z^{2}+2z +2 }} + \frac{Cz+D}{(z^{2}+2z +2)^{2} }}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ z^{2}+2z = (Az+B)(z ^{2} + z + 2) + (Cz+D)}\)

Ale wtedy wychodzi \(\displaystyle{ Az ^{3}}\) i ogólnie cały układ równań mi nie wychodzi.

Jakieś wskazówki?

[a4karo]

Jak wychodzi \(\displaystyle{ Az^3}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ A=0}\).

A w ogóle w dziedzinie zespolonej każdy wielomian rozkłada się cz czynniki liniowe. Znajdź je.

[KibaJaksa]

\(\displaystyle{ \frac{ z^{2}+2z }{(z ^{2} + z + 2 ) ^{2} } = \frac{C _{1} }{z + 1 + i }} + \frac{C _{2} }{(z + 1 + i)^{2} }} + \frac{C _{3} }{z + 1 - i }} + \frac{C _{4} }{(z + 1 - i)^{2} }}}\)

a \(\displaystyle{ C _{1 } = Az + B}\) i tak dalej?

Dobrze rozumiem?

[a4karo]

Nie wiem. Przeczytaj swój post

[KibaJaksa]

Już poprawiłem, sorki

[Premislav]

Nie wiem, na jakiej zasadzie uzyskałeś ten rozkład, ale jest on błędny, wszak
\(\displaystyle{ z^2+z+2\neq (z+1+i)(z+1-i)}\)
Chyba pomyliłeś \(\displaystyle{ z^2+z+2}\) z \(\displaystyle{ z^2+{\red 2}z+2}\), może to przez ten licznik…

[KibaJaksa]

Powinno być \(\displaystyle{ z ^{2}+2z+2}\) źle mianownik przepisałem a potem kopiując powieliłem błąd

Dziękuję za pomoc

[Premislav]

A, to sorry, w takim razie zmierzasz w dobrą stronę.
Tylko że \(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3, \ C_4}\) będą stałymi, a nie wielomianami typu \(\displaystyle{ Az+B}\).

Ale w takim przypadku można to trochę usprawnić:
\(\displaystyle{ \frac{ z^{2}+2z }{(z ^{2} +2 z + 2 ) ^{2} }=\\=\frac{ z^{2}+2z +2-2}{(z ^{2} +2 z + 2 ) ^{2} }=\frac{1}{z^2+2z+2}-\frac{2}{(z^2+2z+2)^2}}\)
i teraz
\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{2i}\left(\left( z+1+i\right) -\left( z+1-i\right) \right)\\ 2=\frac{1}{i}\left(\left( z+1+i\right) -\left( z+1-i\right) \right)}\)
etc.
Ale może lepiej przeliczyć porządnie ten przykład wg schematu, bo zadziała on tez dla o wiele brzydszych przykładów, a zgadnięte w pamięci rozkłady korzystające z pewnej symetrii – już nie.

[KibaJaksa]

No tak, stałe będą. Już mi się mózg gotuje, bo uparcie próbuje to zadanie w końcu zrobić.

Zrobię według schematu, ale podoba mi się ten sposób i na pewno kiedyś go wykorzystam