Sprawdzić równanie dla danego z.

[Unforg1ven]

Mam takie zadanko:
Niech \(\displaystyle{ w= e^{\frac{2i\pi}{5}}}\) , oraz \(\displaystyle{ z=w+\frac{1}{w}}\) (1)
a)Sprawdzić, że \(\displaystyle{ z^{2}+z-1=0}\) (2) .
b)Jakie równanie spełnia w?

Zacznę od końca. Podpunkt b o tyle wręcz banalny zastawia mnie co autor miał na celu.
Tzn. domyślam się, że przykładowe równanie mogłoby wyglądać:
\(\displaystyle{ w-\cos \frac{2i\pi}{5}-i\sin \frac{2i\pi}{5}=0}\)
Ale nie to chyba chodziło autorowi.

a) Tu wpadam w jakiś chaos rachunkowy, z którego nie umiem wyjść.
Mój pomysł polegał na podstawieniu (1) do (2), rozwinięciu nawiasu kwadratowego a następnie pomnożeniu, przez \(\displaystyle{ w^{2}}\)
Otrzymuje takie monstrum:
\(\displaystyle{ w^4+w^3+w+1=0}\)

Podstawiam wartość \(\displaystyle{ w}\) w formie trygonometrycznej, i dochodzę do jakiś dzikich sinusów i cosinusów, których nie potrawie ze sobą powiązać.
Ma ktoś inny pomysł jak do tego podejść lub powie mi jak to dalej kontynuować?

[Premislav]

Co do podpunktu b), zapewne chodziło o to, że \(\displaystyle{ w^5-1=0}\), ale jest to na tyle nieściśle sformułowane, że nie można odmówić poprawności Twojej odpowiedzi.
a) \(\displaystyle{ w}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P(z)=z^5-1}\) i nie jest równe \(\displaystyle{ 1}\), zatem, jak napisałeś,
\(\displaystyle{ w^4+w^3+w^2+w+1=0}\)
Teraz podziel to ostatnie równanie stronami przez \(\displaystyle{ w^2}\) (możesz, bo oczywiście \(\displaystyle{ w\neq 0}\))
i zauważ, że \(\displaystyle{ w^2+w+1+\frac 1 w+\frac{1}{w^2}=\left( w+\frac 1 w\right)^2-1+\left( w+\frac 1 w\right)}\).