Równanie z wykorzystaniem liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 27 razy

Równanie z wykorzystaniem liczb zespolonych

Post autor: camillus25 »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego równania:

\(\displaystyle{ (x+i) ^{n}+(x-i) ^{n}=0}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie z wykorzystaniem liczb zespolonych

Post autor: Premislav »

Zauważ, że \(\displaystyle{ x=i}\) nie spełnia tego równania, zaś dla \(\displaystyle{ x\neq i}\) podziel stronami przez \(\displaystyle{ (x-i)^n}\) i masz równanie
\(\displaystyle{ z^n=-1}\) dla przypadku \(\displaystyle{ z=\frac{x+i}{x-i}}\).
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{x+i}{x-i}=\cos \frac{\pi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\pi+2k\pi}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,\ldots n-1\right\}}\).
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 27 razy

Re: Równanie z wykorzystaniem liczb zespolonych

Post autor: camillus25 »

\(\displaystyle{ \frac{x+i}{x-i}=\cos \frac{\pi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\pi+2k\pi}{n}}\)
Czy taka końcowa postać wystarczy, czy mam coś jeszcze uwzględnić?
ODPOWIEDZ