Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego równania:
\(\displaystyle{ (x+i) ^{n}+(x-i) ^{n}=0}\)
Równanie z wykorzystaniem liczb zespolonych
- camillus25
- Użytkownik
- Posty: 160
- Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 27 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Równanie z wykorzystaniem liczb zespolonych
Zauważ, że \(\displaystyle{ x=i}\) nie spełnia tego równania, zaś dla \(\displaystyle{ x\neq i}\) podziel stronami przez \(\displaystyle{ (x-i)^n}\) i masz równanie
\(\displaystyle{ z^n=-1}\) dla przypadku \(\displaystyle{ z=\frac{x+i}{x-i}}\).
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{x+i}{x-i}=\cos \frac{\pi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\pi+2k\pi}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,\ldots n-1\right\}}\).
\(\displaystyle{ z^n=-1}\) dla przypadku \(\displaystyle{ z=\frac{x+i}{x-i}}\).
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{x+i}{x-i}=\cos \frac{\pi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\pi+2k\pi}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,\ldots n-1\right\}}\).
- camillus25
- Użytkownik
- Posty: 160
- Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 27 razy
Re: Równanie z wykorzystaniem liczb zespolonych
Czy taka końcowa postać wystarczy, czy mam coś jeszcze uwzględnić?\(\displaystyle{ \frac{x+i}{x-i}=\cos \frac{\pi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\pi+2k\pi}{n}}\)