Nie wykonując dzieleń znaleźć resztę z dzielenia

[KibaJaksa]

Nie wykonując dzieleń znaleźć resztę z dzielenia
\(\displaystyle{ \frac{(x^6+x-50)}{(x^3+8)}}\)

Więc liczę pierwiastki: \(\displaystyle{ (x^3+8)}\)
i mam:
\(\displaystyle{ x = -2}\)
\(\displaystyle{ x = 1 - \sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ x = 1 + \sqrt{3}i}\)

I teraz mam problem z ułożeniem układu równań:

\(\displaystyle{ (-2)^6 + 2 - 50 = ax^2 + bx +c}\)
\(\displaystyle{ (-2)^6 + 2 - 50 = a(-2)^2 + (-2)b +c}\)
\(\displaystyle{ 16 = 4a - 2b +c}\)

\(\displaystyle{ (1 - \sqrt{3}i)^6 + (1 - \sqrt{3}i) - 50 = a(1 - \sqrt{3}i)^2 +(1 - \sqrt{3}i)b + c}\)
\(\displaystyle{ 64 + 1 - \sqrt{3}i - 50 = (-2 - 2\sqrt{3})a + (1 - \sqrt{3}i)b + c}\)
\(\displaystyle{ 15 - \sqrt{3}i = (-2 - 2\sqrt{3})a + (1 - \sqrt{3}i)b + c}\)

... i jeszcze trzeci układ równań

Pytanie brzmi jak mam do siebie przyrównać strony równania żeby obliczbyć a, b i c

Czy jest inny sposób na rozwiązanie tego?

[Janusz Tracz]

Póki co wygląda to dobrze.

Pytanie brzmi jak mam do siebie przyrównać strony równania żeby obliczbyć a, b i c

Nie musisz przyrównywać stron równania tylko patrzeć na całość jak na układ trzech równań z trzema niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b,c}\). Poza tym jako że jesteśmy w liczbach zespolonych to pewne informacje można wyciągnąć z porównywania ze sobą części rzeczywistych i urojonych. Z drugiego równania wynika że \(\displaystyle{ b=1}\) a z tego że \(\displaystyle{ 15=(-2 - 2\sqrt{3})a + 1 + c}\) czyli \(\displaystyle{ c=15+(2+ 2\sqrt{3})a}\). Wstaw to do pierwszego równania a wyliczymy \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ 16 = 4a - 2b +c}\)

\(\displaystyle{ 16 = 4a - 2 +15+(2+ 2\sqrt{3})a}\)

po wyliczeniu \(\displaystyle{ a}\) wracasz się do \(\displaystyle{ c=15+(2+ 2\sqrt{3})a}\) no a \(\displaystyle{ b=1}\).