Wykazać równość z arctg.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać równość z arctg.

Post autor: Unforg1ven »

Mam takie równanie , i chcę to dowieść.

\(\displaystyle{ \frac{1+it}{1-it}=e^{2i\cdot\arctg(t)},t \in \mathbb{R}}\)

Jak takie coś ugryźć?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wykazać równość z arctg.

Post autor: a4karo »

Wsk. Przedstaw \(\displaystyle{ 1\pm it}\) w postaci trygonometrycznej
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wykazać równość z arctg.

Post autor: Premislav »

Chyba lepiej w wykładniczej (choć to niemal na jedno wychodzi), wówczas od razu otrzymujemy tezę.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać równość z arctg.

Post autor: Unforg1ven »

Nie mogę wymyślić jak to sprowadzić to postaci trygonometrycznej.
Jakaś dodatkowa wskazówka?
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Wykazać równość z arctg.

Post autor: karolex123 »

Wskazówka: \(\displaystyle{ 1+it=r e^{i \phi}}\), to czym jest \(\displaystyle{ \tg \phi}\)?
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać równość z arctg.

Post autor: Unforg1ven »

Wydaje mi się, że gdzieś robię niedozwolone przejście lub błąd w obliczeniach, bo wychodzi mi głupota.
Liczę moduł
\(\displaystyle{ z=1+it}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1^2+t^2}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{1^2+t^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+t^2}} \cos{x} + \frac{it}{\sqrt{1^2+t^2}}\sin{x}\right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \cos{x}=\sqrt{1^2+t^2}}}\)
I tu głupota mi wychodzi, bo to po prawej przyjmuje wartości tylko \(\displaystyle{ \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \sin{x}=\frac{\sqrt{1^2+t^2}}{t}}\)
No stąd
\(\displaystyle{ \tg{x}=\frac{1}{t}}\)
Tak jak mówię to wydaje mi się złe ale nie mam bladego pojecia jak do tego innaczej się zabrać.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wykazać równość z arctg.

Post autor: Premislav »

Nie za bardzo wiem, co tworzysz (wygląda na dzieło czerpiące z dadaizmu), ale może po prostu byłeś zmęczony/zestresowany/cokolwiek.
Moduł obliczony poprawnie, dalej
\(\displaystyle{ 1+it=\sqrt{1+t^2}\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}+i\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie takim kątem (może ich być sporo), że
\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \ \sin \alpha=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}\)
Wówczas możemy zapisać, że
\(\displaystyle{ \tg \alpha=t}\), czyli tę zależność spełnia \(\displaystyle{ \alpha=\arctg t}\).
Przepisując to jeszcze ze wzoru Eulera, widzimy, że zachodzi
\(\displaystyle{ 1+it=\sqrt{1+t^2}e^{i\arctg t}}\)

Analogiczne rachunki prowadzą do tego, że
\(\displaystyle{ 1-it=\sqrt{1+t^2}e^{i\arctg(-t)}=\sqrt{1+t^2}e^{-i\arctg t}}\)
gdyż funkcja arcus tangens jest nieparzysta.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać równość z arctg.

Post autor: Unforg1ven »

Dobra dziękuje, faktycznie jak to liczyłem to byłem zmęczony.
A fanem dadaizmu matematycznego nie jestem. : p
ODPOWIEDZ