Wykazać równość z arctg.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać równość z arctg.
Mam takie równanie , i chcę to dowieść.
\(\displaystyle{ \frac{1+it}{1-it}=e^{2i\cdot\arctg(t)},t \in \mathbb{R}}\)
Jak takie coś ugryźć?
\(\displaystyle{ \frac{1+it}{1-it}=e^{2i\cdot\arctg(t)},t \in \mathbb{R}}\)
Jak takie coś ugryźć?
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać równość z arctg.
Nie mogę wymyślić jak to sprowadzić to postaci trygonometrycznej.
Jakaś dodatkowa wskazówka?
Jakaś dodatkowa wskazówka?
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Wykazać równość z arctg.
Wskazówka: \(\displaystyle{ 1+it=r e^{i \phi}}\), to czym jest \(\displaystyle{ \tg \phi}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać równość z arctg.
Wydaje mi się, że gdzieś robię niedozwolone przejście lub błąd w obliczeniach, bo wychodzi mi głupota.
Liczę moduł
\(\displaystyle{ z=1+it}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1^2+t^2}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{1^2+t^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+t^2}} \cos{x} + \frac{it}{\sqrt{1^2+t^2}}\sin{x}\right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \cos{x}=\sqrt{1^2+t^2}}}\)
I tu głupota mi wychodzi, bo to po prawej przyjmuje wartości tylko \(\displaystyle{ \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \sin{x}=\frac{\sqrt{1^2+t^2}}{t}}\)
No stąd
\(\displaystyle{ \tg{x}=\frac{1}{t}}\)
Tak jak mówię to wydaje mi się złe ale nie mam bladego pojecia jak do tego innaczej się zabrać.
Liczę moduł
\(\displaystyle{ z=1+it}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1^2+t^2}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{1^2+t^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+t^2}} \cos{x} + \frac{it}{\sqrt{1^2+t^2}}\sin{x}\right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \cos{x}=\sqrt{1^2+t^2}}}\)
I tu głupota mi wychodzi, bo to po prawej przyjmuje wartości tylko \(\displaystyle{ \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \sin{x}=\frac{\sqrt{1^2+t^2}}{t}}\)
No stąd
\(\displaystyle{ \tg{x}=\frac{1}{t}}\)
Tak jak mówię to wydaje mi się złe ale nie mam bladego pojecia jak do tego innaczej się zabrać.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Wykazać równość z arctg.
Nie za bardzo wiem, co tworzysz (wygląda na dzieło czerpiące z dadaizmu), ale może po prostu byłeś zmęczony/zestresowany/cokolwiek.
Moduł obliczony poprawnie, dalej
\(\displaystyle{ 1+it=\sqrt{1+t^2}\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}+i\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie takim kątem (może ich być sporo), że
\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \ \sin \alpha=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}\)
Wówczas możemy zapisać, że
\(\displaystyle{ \tg \alpha=t}\), czyli tę zależność spełnia \(\displaystyle{ \alpha=\arctg t}\).
Przepisując to jeszcze ze wzoru Eulera, widzimy, że zachodzi
\(\displaystyle{ 1+it=\sqrt{1+t^2}e^{i\arctg t}}\)
Analogiczne rachunki prowadzą do tego, że
\(\displaystyle{ 1-it=\sqrt{1+t^2}e^{i\arctg(-t)}=\sqrt{1+t^2}e^{-i\arctg t}}\)
gdyż funkcja arcus tangens jest nieparzysta.
Moduł obliczony poprawnie, dalej
\(\displaystyle{ 1+it=\sqrt{1+t^2}\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}+i\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie takim kątem (może ich być sporo), że
\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \ \sin \alpha=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}\)
Wówczas możemy zapisać, że
\(\displaystyle{ \tg \alpha=t}\), czyli tę zależność spełnia \(\displaystyle{ \alpha=\arctg t}\).
Przepisując to jeszcze ze wzoru Eulera, widzimy, że zachodzi
\(\displaystyle{ 1+it=\sqrt{1+t^2}e^{i\arctg t}}\)
Analogiczne rachunki prowadzą do tego, że
\(\displaystyle{ 1-it=\sqrt{1+t^2}e^{i\arctg(-t)}=\sqrt{1+t^2}e^{-i\arctg t}}\)
gdyż funkcja arcus tangens jest nieparzysta.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać równość z arctg.
Dobra dziękuje, faktycznie jak to liczyłem to byłem zmęczony.
A fanem dadaizmu matematycznego nie jestem. : p
A fanem dadaizmu matematycznego nie jestem. : p