Pierwiastki czwartego stopnia z -1

[MPXD]

Pytanie gdzie robię błąd, być może wcale nie tak się to rozwiązuje.
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}}\)
no to zapisuję
\(\displaystyle{ -1=cos \pi +isin \pi}\)
i chcę zastosować wzór dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\)
\(\displaystyle{ z _{0}=cos \frac{ \pi }{4}+isin \frac{ \pi }{4}= \frac{1+i}{ \sqrt{2} }}\)
no i na razie spoko, ale dochodzę do k=2 i wychodzi
\(\displaystyle{ z_{2}=cos \frac{5 \pi }{4}+isin\frac{5 \pi }{4}=-cos \frac{ \pi }{4}-isin \frac{ \pi }{4}=- \frac{ \sqrt{2}+i \sqrt{2}}{2}}\) ?? Po podniesieniu tego do potęgi czwartej nie wychodzi -1?
A poza tym tak na logikę pozostałe pierwiastki to powinny być chyba \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) oraz \(\displaystyle{ - \sqrt{i}}\) ale czy one kiedykolwiek wyjdą tą metodą? Przyznam że liczb zespolonych wgl nie czuję, mam wrażenie że z każdym przykładem robi się coś innego

EDIT: oczywiście te pierwiastki z i to głupota, nie wiem czemu wgl o tym pomyślałam

[Benny01]

\(\displaystyle{ \sin \frac{5 \pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[a4karo]

To popatrz tak :
Pierwiastki równania \(\displaystyle{ z^4=-1}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^8=1}\). Te zaś to wierzchołki ośmiokąta foremnego. Połowa z nich to rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^4=1}\). Które to?