Jak policzyć część urojoną, mając część rzeczywistą i argume

[Dzonzi]

Cześć
Mam dane \(\displaystyle{ \text{Re}}\) i \(\displaystyle{ \text{arg}}\). Muszę wykreslić charakterystykę amplitudowo-fazową. Jak zatem mogę obliczyć część urojoną?

[Premislav]

Postać trygonometryczna się oczywiście przyda. Znasz \(\displaystyle{ \arg z}\), oznaczmy go jako \(\displaystyle{ \alpha}\), więc wiesz, ile wynosi odpowiedni cosinus i sinus, a część rzeczywista to iloczyn sinusa i \(\displaystyle{ r}\), ją też znasz, stąd znajdziesz \(\displaystyle{ r}\). No i część urojona to \(\displaystyle{ r\cdot \sin \alpha}\).

[karolex123]

a część rzeczywista to iloczyn sinusa i \(\displaystyle{ r}\), ją też znasz, stąd znajdziesz \(\displaystyle{ r}\). No i część urojona to \(\displaystyle{ r\cdot \sin \alpha}\).

Część rzeczywista to iloczyn cosinusa i \(\displaystyle{ r}\), co pewnie miałeś na myśli

[Premislav]

Jasne, dzięki za poprawkę. Ech, lata intensywnego czytania książek, ćwiczeń koncentracji i niewiele to pomogło (choć piszę dość poprawnie), całkowicie zwalczyć dysleksji nie mogę.

[Dzonzi]

Panowie koledzy, pomyliło mi się. Mam dane \(\displaystyle{ G(jw)}\) i \(\displaystyle{ arg}\) co jak sądzę z tego wykresu to \(\displaystyle{ r}\), ale wtedy te wasze wzory mi się kompletnie nie zgadzają.

[Janusz Tracz]

Bo to zadanie ma więcej wspólnego z badaniem stabilności układów regulacji i sterowania niż z liczbami zespolonymi. Masz zadana transmitancję jakiegoś układu \(\displaystyle{ G(s)}\) którą przekształcasz na \(\displaystyle{ G\left( j\omega\right)}\) i przedstawiasz jako część rzeczywista i urojona czyli

\(\displaystyle{ G\left( j\omega\right)=X\left(\omega\right)+jY\left(\omega\right)}\)

Wykres który narysowałeś to krzywa Nyquista (o ile dobrze pamiętam) i przedstawia ona parametryczne równanie \(\displaystyle{ (*)}\) służące do określania stabilności układu w zależności od położenie punktu Nyquista względem krzywej.

\(\displaystyle{ (*) \ \ \ \begin{cases} \text{współrzędna x na płaszczyźnie}=X\left(\omega\right) \\ \text{współrzędna y na płaszczyźnie}= Y\left(\omega\right) \end{cases}}\)

przy czym \(\displaystyle{ \omega}\) przebiega przedział \(\displaystyle{ left[ 0, infty
ight)}\). By wyznaczyć charakterystykę amplitudowo-fazową trzeba wykreślić wykres amplitudy \(\displaystyle{ A(\phi)}\) czyli modułu \(\displaystyle{ |G\left( j\omega\right)|}\) od fazy \(\displaystyle{ \phi(\omega)}\) czyli \(\displaystyle{ \arg\left(G\left( j\omega\right) \right)}\). Ważne jest by zauważyć że w układzie w którym będziemy to wykreślać nie ma osi oznaczonej \(\displaystyle{ \omega}\) mimo że wszystkie te funkcje zależą od \(\displaystyle{ \omega}\). Ogólne wzory są takie:

\(\displaystyle{ A(\phi(\omega))=|G\left( j\omega\right)|= \sqrt{X^2\left(\omega\right)+Y^2\left(\omega\right)}}\)

\(\displaystyle{ \arg\left(G\left( j\omega\right) \right)=\arctg\left( \frac{Y\left(\omega\right)}{X\left(\omega\right)} \right)}\)

Podobnie jak wyżej jest to krzywa opisana parametrycznie zmiennymi \(\displaystyle{ A(\phi(\omega)),\arg\left(G\left( j\omega\right) \right)}\) (więc jest w układzie amplitudy i fazy stąd nazwa) generowana przez parametr \(\displaystyle{ \omega}\).

[Dzonzi]

Wolałbym wykreślić tę charakterystykę w excelu mając \(\displaystyle{ Re}\) i \(\displaystyle{ Im}\) jako zwykłe wykresy po prostu.
Jak to zatem najłatwiej wyznaczyć te współrzędne?

Chyba, że macie inny pomysł jak ją wykreślić używając tylko \(\displaystyle{ G(jw)}\) i argumentu?