Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
pomiatacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 8 lis 2018, o 09:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rzeszow
Podziękował: 5 razy

Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: pomiatacz »

a) \(\displaystyle{ \pi \le arg(iz) < 2 \pi}\)
b) \(\displaystyle{ \pi/3 \le arg(-z) \le \pi/2}\)
Proszę o wytłumaczenie jak postępować w takich przykładach (jak to przekształcić, by zaznaczyć tą przestrzeń).
Kordyt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 286
Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Kordyt »

zauważmy, że

\(\displaystyle{ arg(z_1z_2)=arg(z_1)+arg(z_2)}\)

W przykładzie a) jako \(\displaystyle{ z_1=i}\)
W przykładzie b) jako \(\displaystyle{ z_1=-1}\)

Rozbić na sumę, z zadanych liczby argument policzyć i przenieść stosownie na pozostałe str. nierówności.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Janusz Tracz »

Ogólnie warunek \(\displaystyle{ \phi_1 \le \arg \omega \le \phi_2}\) określa pewien podzbiór płaszczyzny zespolonej \(\displaystyle{ \CC}\) który wygląda jak kawałek nieskończonej pizzy. Kawałek ten zaczyna się od kąta \(\displaystyle{ \phi_1}\) i kończy na \(\displaystyle{ \phi_2}\). Jeśli rozważyli byśmy zbiór:

\(\displaystyle{ A=\left\{ z\in\CC:\pi \le \arg(z) < 2 \pi\right\}}\)

To można go narysować według podanej reguły (będzie to dolna półpłaszczyzna z krawędzią \(\displaystyle{ \Re z<0}\) ale bez krawędzie \(\displaystyle{ \Re z>0}\) przy \(\displaystyle{ \Im z=0}\)). A gdy uświadomisz sobie że gdy mnożysz liczbę zespoloną przez \(\displaystyle{ i}\) to dokonujesz jej obrotu o kąt \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) to zbiorem

\(\displaystyle{ A^*=\left\{ z\in\CC:\pi \le \arg(iz) < 2 \pi\right\}}\)

będzie ta półpłaszczyzna zgotowana o kąt \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podpunkt b) idzie dokładnie tak samo gdy zauważysz że \(\displaystyle{ -1=i \cdot i}\) czyli obrotu o kąt \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) dokonujesz dwa razu (czyli od razu obracasz o kąt \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\)) ten kawałek płaszczyzny \(\displaystyle{ \CC}\) który jest opisany warunkiem \(\displaystyle{ \pi/3 \le \arg(z) \le \pi/2}\)-- 8 lis 2018, o 13:46 --Zadanie daje się zrobić w całości przy użyciu geometrii i podstawowego obrotu o kąt dosłownie nic nie trzeba liczyć.
ODPOWIEDZ