Nie wykonując dizeleń...

[xxdakee]

Nie wykonując dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ P}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q}\), jeżeli

np. \(\displaystyle{ P(x)= x^{99}-2x^{98}+4x^{97} , Q(x)= x^{4}+1}\)


W jaki sposób można łatwo rozwiązać tego typu zadanie? Nie mam zielonego pojęcia jak można to rozwiązać nie wykonując dzieleń

[Premislav]

Reszta jest postaci \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla pewnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\).
Zapiszmy więc
\(\displaystyle{ P(x)=(x^4+1)R(x)+ax^3+bx^2+cx+d}\)
Teraz w tej równości podstawiajmy konsekwentnie pierwiastki zespolone 4. stopnia z \(\displaystyle{ -1}\), a dostaniemy układ czterech równań liniowych na \(\displaystyle{ a,b,c,d.}\)

[Janusz Tracz]

Zobacz tu. Sprawa wygląda analogicznie. Można ułożyć układ równań z niewiadomymi będącymi współczynnikami wielomianu reszty \(\displaystyle{ R(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\). Wiemy że dla pierwiastków \(\displaystyle{ Q}\) zachodzi \(\displaystyle{ P=R}\) tu będzie to zachodzić dla

\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{ \sqrt{2} }+\frac{i}{ \sqrt{2} },\left( \frac{1}{ \sqrt{2} }+\frac{i}{ \sqrt{2} }\right)i,\left( \frac{1}{ \sqrt{2} }+\frac{i}{ \sqrt{2} }\right)i^2,\left( \frac{1}{ \sqrt{2} }+\frac{i}{ \sqrt{2} }\right)i^3 \right\}}\)

[a4karo]

A gdyby tak:
\(\displaystyle{ x^{99}-2x^{98}+4x^{97}=x^{96}(x^3-2x^2+4x)}\), ale \(\displaystyle{ x^{96}=(x^4)^{24}=(-1)^{24}=1}\)

[Dasio11]

ale \(\displaystyle{ x^{96}=(x^4)^{24} \: \textcolor{red}{=} \: (-1)^{24}=1}\)

Przy czym czerwona równość oczywiście zachodzi \(\displaystyle{ \mod Q(x)}\).